Как находим площадь: Как найти площадь фигуры, формула

Находим площадь прямоугольника • Образавр

Содержание

1721 1825

Обозначение площади прямоугольника

Рисунок 1. Квадратный сантиметр

На рисунке 1 вы видите небольшой квадрат. Все его стороны равны, и длина каждой – 1 см. Площадь этого квадрата будет равна одному квадратному сантиметру, это записывается как 1 см²

Чтобы понять, чему равна площадь фигуры, нужно разбить её на квадраты со стороной 1 см². Площадь будет равна количеству получившихся квадратов.

Если какую-нибудь фигуру можно разбить на $n$ квадратов со стороной 1 см, то её площадь равна $n$ см²

Например, площадь фигуры на рис. 2 будет равна 7 см²

Рис. 2

Теперь посмотрим на прямоугольник на рис.3. Он разделён на квадратные сантиметры.

Рисунок 3

Мы видим 3 ряда, в каждом из них по 5 квадратов. Чтобы узнать площадь, нам необязательно пересчитывать квадраты – можно просто умножить количество рядов на количество квадратов в них. У нас получится 15 см².

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить его длину на ширину.

Это правило можно записать буквами. Площадь обозначается буквой S, длину прямоугольника обозначим буквой а, ширину – буквой b. 

Рисунок 4 

$$S=a \cdot b$$

Площадь квадрата

А как же быть с квадратом? Это прямоугольник, у которого все стороны равны. Длина у квадрата совпадает с шириной, и нет смысла обозначать их разными буквами. 2$

Вторую степень числа ещё называют квадратом числа. Существует также куб числа, так называют третью степень. Кубические единицы измерения используются для обозначения объёма куба и прямоугольного параллелепипеда.

Равные фигуры

Теперь сравним две фигуры, «сложенные» из одинакового числа квадратов. В обоих случаях площадь фигур равна, но только во втором случае фигуры можно назвать равными. 

Рисунок 6

Две фигуры называют равными, если одну из них можно так наложить на вторую, что эти фигуры совпадут. Площади равных фигур равны. Их периметры также равны.

Площадь и части фигур

Возьмём прямоугольник и разделим его на две части. Например, так: 

Рисунок 7

Площадь одной части 5 см², второй – 7 см². Если сложить эти два числа, получится 12. Но если умножить длину прямоугольника на ширину, тоже получится 12 см².

Можно сделать вывод:

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Попробуйте разделить прямоугольник на части самостоятельно, чтобы убедиться в этом. 

А что будет, если разделить прямоугольник не на квадратики, а на треугольники? То же самое: площадь прямоугольника будет равна сумме площадей треугольников. Так как треугольники получатся равные, то площадь каждого из них будет составлять половину площади прямоугольника.

5

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что можно улучшить?

Изложение материала

Непонятное объяснение

Урок неполный, не хватает информации

Урок перегружен, слишком много информации

Тесты плохого качества

Тестов недостаточно

Тестов слишком много

Тесты слишком легкие

Тесты слишком сложные

Изображения

Изображения плохого качества

Изображений недостаточно

Изображений слишком много

Другое




Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?




Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Проверим знания по теме?

Задачи на нахождение площади

Площадь треугольника с прямым углом.

Как находить площадь треугольника (формулы)

Площадь треугольника с прямым углом. Как находить площадь треугольника (формулы)

В элементарной геометрии прямоугольным треугольником называется фигура, состоящая из трёх отрезков соединённых в точках, с углами два из которых острые, а один прямой (то есть равен 90°). Прямоугольный треугольник характеризуется целым рядом важных свойств, многие из которых составляют основу тригонометрии (например, соотношения между его сторонами и углами). Еще со школьной скамьи все мы знаем, как вычислить площадь прямоугольного треугольника , а в повседневной жизни встречаемся с этой геометрической фигурой достаточно часто, порой даже не замечая этого. Достаточно широкое применение находит она в технике и поэтому такую задачу, как , часто приходится решать инженерам, конструкторам и архитекторам.

Зодчим определять эту величину требуется тогда, когда они проектируют здания с фронтонами, которые являются завершением фасадов и имеют треугольную форму ограниченную карнизом, а по бокам – скатами крыши. Нередко угол между скатами бывает прямой, и в таких случаях фронтон имеет форму прямоугольного треугольника. Определять его площадь требуется по той простой причине, что необходимо точно знать количество строительного материала, необходимого для его обустройства. Следует заметить, что фронтоны являются обязательными элементами малоэтажных строений (загородных домов, коттеджей, дач).

Нахождение площади прямоугольного треугольника

a — катет

b — катет

S — площадь прямоугольного треугольника

Форму прямоугольного треугольника имеют многие детали, из которых изготавливается современная мебель. Как известно, для того чтобы наиболее рационально использовать площадь помещений, все элементы обстановки должны размещаться в ней оптимальным образом. С пользой задействовать такие зоны, как углы, можно с помощью столов треугольной формы, столешницы которых в большинстве случаев представляют собой прямоугольные треугольники с катетами, вплотную прилегающими к стенам. При проектировании и расчете этих элементов конструкторы мебельного производства применяют формулу, по которой нахождение площади прямоугольного треугольника осуществляется на основе длины его сторон. Кроме того, им нередко приходится разрабатывать конструкции столиков, крепящихся непосредственно к стенам, в состав которых входят опорные элементы, также представляющие собой

прямоугольные треугольники .

Строителям, занимающимся облицовочными работами, нередко в своей профессиональной деятельности приходится использовать керамическую плитку, имеющую форму прямоугольного треугольника с катетами одинаковой или различной длины. Им также приходится определять площадь этих элементов для того, чтобы выяснить необходимое их количество.

Форму прямоугольного треугольника имеет и такой важный и необходимый измерительный инструмент, как угольник. С его помощью производится построение и контроль прямых углов, а используется он очень широко и многими: от обычных школьников на уроках геометрии до конструкторов суперсовременной техники.

На уроках геометрии в средней школе всем нам говорили о том, треугольника. Однако в рамках школьной программы мы получаем только самые необходимые знания и учимся наиболее распространенным и стандартным способам вычислений. Существуют ли необычные способы нахождения этой величины?

В качестве введения вспомним, какой треугольник считается прямоугольным, а также обозначим понятие площади.

Прямоугольным треугольником называют замкнутую геометрическую фигуру, один из углов которой равен 90 0 . Неотъемлемыми понятиями в определении являются катеты и гипотенуза. Под катетами подразумевают две стороны, которые в точке соединения образуют прямой угол. Гипотенуза — сторона, противоположная прямому углу. Прямой треугольник может быть равнобедренным (две его стороны будут иметь одинаковую величину), но никогда не будет равносторонним (все стороны одной длины). Определения высоты, медианы, векторов и прочих математических терминов подробно разбирать не будем. Их легко найти в справочниках.

Площадь прямого треугольника. В отличие от прямоугольников, правило о

произведении сторон в определении не действует. Если говорить сухим языком терминов, то под площадью треугольника понимают свойство этой фигуры занимать часть плоскости, выраженное числом. Довольно сложно к восприятию, согласитесь. Не будем пытаться глубоко вникнуть в определение, наша цель не в этом. Перейдем к главному — как найти площадь прямоугольного треугольника? Сами вычисления производить не будем, укажем только формулы. Для этого определимся с обозначениями: A,B,C — стороны треугольника, катеты — AB, BC. Угол ACB — прямой. S — площадь треугольника, h n n — высота треугольника, где nn — сторона, на которую она опущена.

Способ 1. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известна величина его катетов

Способ 2. Находим площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Способ 3. Вычисление площади через прямоугольник

Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата (если треугольник

равнобедренный) или прямоугольника. Получим простой четырехугольник, составленный из 2-х идентичных прямоугольных треугольников. В этом случае значение площади одного из них будет равно половине площади полученной фигуры. S прямоугольника вычисляем произведением сторон. Обозначим эту величину M. Искомое значение площади будет равно половине M.

Способ 4. «Пифагоровы штаны». Знаменитая теорема Пифагора

Мы все помним ее формулировку: «сумма квадратов катетов…». Но не все могут

сказать, причем тут некие «штаны». Дело в том, что изначально Пифагор изучал взаимосвязь построенных на сторонах прямого треугольника. Выявив закономерности в соотношении сторон квадратов, он смог вывести и известную всем нам формулу. Ее можно применять в случае, когда неизвестна величина одной из сторон.

Способ 5. Как найти площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Тоже достаточно простой способ расчета. Формула предполагает выражение площади треугольника через числовые значения его сторон. Для расчетов необходимо знать величины всех сторон треугольника.

S = (p-AC)*(p-BC), где p = (AB+BC+AC)*0.5

Кроме приведенных, существует множество других способов найти величину такой загадочной фигуры, как треугольник. Среди них: вычисление методом вписанной или описанной окружности, вычисление при помощи координат вершин, использование векторов, абсолютной величины, синусов, тангенсов.

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равняется 90°. Его площадь можно найти, если известны два катета. Можно, конечно, пойти и длинным путем – найти гипотенузу и просчитать площадь по , но в большинстве случаев это только займет лишнее время. Именно поэтому формула площади прямоугольного треугольника выглядит так:

Площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов.

Пример расчета площади прямоугольного треугольника.
Дан прямоугольный треугольник с катетами a = 8 см, b = 6 см.
Вычисляем площадь:
Площадь равна: 24 см 2

Также в прямоугольном треугольнике применяется теорема Пифагора. – сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.
Формула площади равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется также как и обычного прямоугольного треугольника.

Пример расчета площади равнобедренного прямоугольного треугольника:
Дан треугольник с катетами a = 4 см, b = 4 см. Вычисляем площадь:
Вычисляем площадь:=8 см 2

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе может использоваться, если в условии дан один катет. Из теоремы Пифагора находим длину неизвестного катета. К примеру, дана гипотенуза c и катет a , катет b будет равен:
Далее вычисляем площадь по обычной формуле. Пример расчета формулы площади прямоугольного треугольника по гипотенузе идентичен описанному выше.

Рассмотрим интересную задачу, которая поможет закрепить знания формул для решения треугольника.
Задача : площадь прямоугольного треугольника равняется 180 кв. см. найдите меньший катет треугольника, если он меньше второго на 31 см.
Решение : обозначим катеты a и b . Теперь подставим данные в формулу площади:, еще мы знаем, что один катет меньше другого a – b = 31 см
Из первого условия получаем, что
Подставляем данное условие во второе уравнение:

Так как мы находили стороны, то знак минус убираем.
Получается, что катет a = 40 см, а b = 9 см.

В зависимости от вида треугольника выделяют сразу несколько вариантов нахождения его площади. К примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника используется формула S= a * b / 2, где а и b — это его катеты. Если же требуется узнать площадь равнобедренного треугольника, то необходимо делить на два произведение его основания и высоты. То есть, S= b*h / 2, где b – это основание треугольника, а h – его высота.

Далее, может понадобиться расчет площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Здесь приходит на помощь следующая формула: S= a* а / 2, где катеты «а» и «а» – обязательно должны быть с одинаковыми значениями. 2) высчитываем длину неизвестного катета, затем используем ее для расчета площади треугольника.

• Если дана длина одного катета и градусный наклон угла противолежащего ему: находим длину второго катета по формуле — a=b*ctg(C).
• Дано: длина одного катета и градусный наклон угла прилежащего к нему: для нахождения длины второго катета применяем формулу — a=b*tg(C).
• И последнее, дано: угол и длина гипотенузы: вычисляем длину обеих его катетов, по таким формулам — b=c*sin(C) и a=c*cos(C).

Как находить площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника можно очень легко и быстро найти по формуле S= b*h / 2, но, при отсутствии одного из показателей, задача значительно усложняется. Ведь необходимо выполнять дополнительные действия.

Возможные варианты задач:

• Дано: длина одной из боковых сторон и длина основания. Находим через теорему Пифагора высоту, то есть длину второго катеты. При условии, что длина основания, разделенная на два, является катетом, а изначально известная боковая сторона – гипотенузой.
• Дано: основание и угол между боковой стороной и основанием. Вычисляем по формуле h=c*ctg(B)/2 высоту (не забываем сторону «c» разделить на два).
• Дано: высота и угол, который был образован основанием и боковой стороной: применяем формулу c=h*tg(B)*2 для нахождения высоты, и полученный результат умножаем на два. Далее вычисляем площадь.
• Известна: длина боковой стороны и угол, который образовался между ним и высотой. Решение: используем формулы — c=a*sin(C)*2 и h=a*cos(C) для нахождения основания и высоты, после чего считаем площадь.

Как найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Если все данные известны, то по стандартной формуле S= a* a / 2 вычисляем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если же в задаче не указаны некоторые показатели, то выполняются дополнительные действия.

Например: нам не известны длины обеих сторон (мы помним, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике они равны), но дана длинна гипотенузы. 2, где R — радиус окружности.

Как найти площадь параллелограмма (формула и видео) Пол Маццола

Что такое параллелограмм?

Любая фигура со словом «параллельный» дает важную информацию: четырехсторонняя фигура будет иметь две пары противоположных параллельных сторон.

Напомню, что параллелограмм — это плоская фигура, поэтому он двумерный. Это замкнутая фигура с прямыми сторонами, разновидность четырехугольника (четырехсторонней формы). Поскольку противоположные стороны параллельны, противоположные углы и стороны равны (одинаковы).

Что такое параллелограмм?

Три четырехугольника, ромб, квадрат и прямоугольник являются особыми типами параллелограммов.

Предположим, вы построили ящик, скажем, для апельсинов, но забыли положить на него дно. Две стороны ящика — 12 дюймов , а две другие — 18 дюймов .

Если вы повернете ящик так, чтобы одна из его 18-дюймовых сторон стала плоской на столе, ящик естественно наклонится (поскольку у него не было дна, чтобы удерживать четыре стороны в жестком состоянии).

Наклонный ящик образует параллелограмм. Если вы толкаете или тянете ящик так, чтобы он больше или меньше наклонялся, каждая форма, которую он принимает, представляет собой параллелограмм. Его стороны никогда не меняют свою длину, но меняется высота (или ширина) ящика.

Площадь параллелограмма

Если вы заметили три особых параллелограмма в приведенном выше списке, вы уже знаете, как найти площадь. Например, найти площадь прямоугольника очень просто: длина x ширина или основание x высота .

Длина любой линейной геометрической формы равна большему из двух измерений; более длинная сторона является его основанием.

Для любого параллелограмма нам нужно знать длину большей стороны (основания) и его ширину. Здесь все становится сложнее, потому что расстояние вдоль любой короткой стороны не обязательно равно его ширины.

Подумайте о нашем шатком ящике для апельсинов; мы могли бы почти полностью свернуть его, но его две короткие стороны всегда будут равны 12 дюймов .

Как найти площадь параллелограмма

Мы можем назвать различные части нашего параллелограмма из ящика с апельсинами. Четыре вершины (углы): A , B , C и D . Две длинные стороны, 18 дюймов , это AB и CD . Сторона CD образует основание ( b ) нашего параллелограмма.

Площадь примера формулы параллелограмма

Две короткие стороны, 12 дюймов , это BC и DA . Ширина (или высота) ящика — расстояние по прямой от основания до другой стороны — может варьироваться в зависимости от внутренних углов вершин A , B , C и D .

Нам нужно найти ширину (или высоту) h  параллелограмма; то есть расстояние перпендикулярной линии, проведенной от основания CD до AB .

Площадь параллелограмма формулы

Если вы знаете длину основания b и знаете высоту или ширину h , теперь вы можете перемножить эти два числа, чтобы получить площадь, используя эту формулу:

Тогда мы получим наш ответ :

Как вычислить площадь параллелограмма

Этот расчет кажется слишком простым и не учитывает угловые стороны, не так ли?

Но учтите, мы можем двигать параллелограмм и менять его углы. В какой-то момент мы можем сделать каждый внутренний угол прямым и получить прямоугольник. Это означает, что независимо от того, на какие углы мы толкаем и тянем параллелограмм, четыре стороны охватывают одну и ту же площадь.

Другой способ думать об этом — рассмотреть возможность отсечения треугольника, скажем, от левой стороны параллелограмма, чтобы оставить хороший перпендикулярный угол. Переместите этот отрезанный треугольник вправо, и параллелограмм внезапно станет прямоугольником.

Площадь прямоугольника легко вычислить, помните? Длина x ширина в квадратных единицах, что соответствует основание x высота (b x h) в квадратных единицах.

Площадь параллелограмма пример

Параллелограмм имеет стороны 35 см и 17 см , с высотой 11 см . Какова его площадь?

Площадь параллелограмма пример

Начните с подстановки основания и высоты в нашу формулу:

Затем мы перемножаем эти два числа вместе и получаем ответ:

Итоги урока

Мы рассмотрели, что такое параллелограмм, из каких его частей равны, и как найти его площадь, которая всегда выражается (записывается) в квадратных единицах. Параллелограмм представляет собой четырехугольник с параллельными противоположными сторонами; у него всегда четыре стороны, и одна длинная сторона всегда будет его основанием.

Чтобы найти площадь, нужно знать высоту. Умножьте длину основания на высоту и выразите ответ в квадратных единицах.

Площадь треугольников

Есть несколько способов найти площадь треугольника.

q8zqh4VR6KY

Знание базы и высоты

Когда мы знаем основание и высоту, это легко.

Это просто половина b умноженная на час

Площадь = 1 2 шв

(подробнее на странице треугольников)

Самое главное, чтобы основание и высота были под прямым углом. Поиграй здесь:

Пример: Какова площадь этого треугольника?

(Примечание: 12 — это высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

Основание = b = 20 ½ ч. ч. = ½ × 20 × 12 = 120

627 723, 3132, 3133

Знание трех сторон

Существует также формула для нахождения площади любого треугольника, если известны длины всех трех его сторон.

Это можно найти на странице Формулы Герона.

Знание двух сторон и угла между ними

Когда мы знаем две стороны и угол между ними (SAS), мы можем использовать другую формулу (фактически три эквивалентные формулы).

В зависимости от того, какие стороны и углы мы знаем, формулу можно записать тремя способами:

Площадь = 1 2 абсин С

Площадь = 1 2 до н.э. sin A

Площадь = 1 2 дом B

Это действительно одна и та же формула, только стороны и угол изменены.

Пример: Найдите площадь этого треугольника:

Прежде всего мы должны решить, что мы знаем.

Мы знаем, что угол C = 25º, а стороны a = 7 и b = 10.

Итак, приступим:

Площадь = (½)ab sin C

Подставим известные значения:½ × 7 × 10 × sin(25º)

Поработайте с калькулятором: 35 × 0,4226…

Площадь =   14,8 с точностью до одного десятичного знака

Как запомнить

Просто подумайте «abc»: Площадь = ½ a b sin C

Также хорошо помнить, что угол всегда равен между двумя известными сторонами , называемыми «прилежащим углом».

Как это работает?

Начнем с этой формулы:

Площадь = ½ × основание × высота

Мы знаем, что основание равно c , и можем вычислить высоту:

высота b × sin A

Получаем:

Площадь = ½ × (c) × (b × sin A)

Что можно упростить до:

Площадь = 1 2 до н.