Как находить площадь: Как найти площадь фигуры, формула

Содержание

Как найти площадь фигуры? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определения

Площадь является одним из основных математических понятий. Она характеризует как плоские, так и поверхностные геометрические объекты.

Определение

Площадью плоской замкнутой фигуры называется величина части плоскости, которая находится внутри указанной фигуры.

Единицей измерения площади плоской фигуры является квадрат со стороной, равной единице. Число, соответствующее площади некоторой фигуры, состоящей из частей, равно сумме чисел, соответствующих площадям этих частей. Измерение площадей треугольников и многоугольников основано на возможности построения равновеликих им прямоугольников.

Площадь произвольной ограниченной плоской фигуры определяется как общий предел площадей описанных и вписанных в нее многоугольников, наибольшие стороны которых по длине стремятся к нулю.

Если фигура имеет площадь, то она называется квадрируемой.{2}$$

Читать дальше: формула площади круга и примеры решений →

Площадь квадрата

Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат, то есть

Читать дальше: формула площади квадрата и примеры решений →

Площадь прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, то есть

Читать дальше: формула площади прямоугольника и примеры решений →

Площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти произведение стороны $a$ параллелограмма на высоту , проведенную к этой стороне, то есть

Читать дальше: формулы площади параллелограмма и примеры решений →

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно длину средней линии умножить на длину высоты , опущенной к основанию:

Читать дальше: формулы площади трапеции и примеры решений →

Площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, надо длину стороны умножить на длину высоты, проведенной к этой стороне:

Читать дальше: формулы площади ромба и примеры решений →

Площадь эллипса

Чтобы найти площадь эллипса, нужно найти произведение длин большой и малой полуосей этого эллипса на число $\pi$, то есть

Читать дальше: формула площади эллипса и примеры решений →

Площадь прямоугольника и квадрата | Геометрия

Площадь прямоугольника или квадрата – это часть плоскости, занимаемая данной фигурой.

Рассмотрим два прямоугольника ABCD и A₁B₁C₁D₁:

Чтобы узнать сколько места они занимают, надо вычислить их площадь. Так как размеры прямоугольников даны в сантиметрах, то и за единицу измерения площади можно взять квадратный сантиметр.

Прямоугольник ABCD состоит из 4 строк, в каждой из которых по 6 квадратных сантиметров, значит всего в нём 6 · 4, или 24 см

2. A₁B₁C₁D₁ состоит из 3 строк, по 8 квадратных сантиметров, значит в нём 8 · 3, или 24 см². Оказалось, что несмотря на то, что прямоугольники имеют разные размеры, они занимают одинаковую площадь.

Из данного примера можно сделать вывод, что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Общая формула:

S = a · b,

где S — площадь прямоугольника, а a и b — его смежные стороны.

Рассмотрим квадрат ABCD:

так как квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны, то в любом квадрате количество строк будет совпадать с количеством квадратных сантиметров, содержащихся в каждой строке. Квадрат ABCD состоит из 4 строк, по 4 квадратных сантиметра в каждой, значит в нём 4 · 4, или 16 см

Из примера можно сделать вывод, что площадь квадрата равна длине любой его стороны во второй степени. Общая формула:

S = a²,

где S — площадь квадрата, а a — его сторона.

Чтобы узнать площадь прямоугольника, надо взять его длину и ширину (в одинаковых единицах измерения) и найти их произведение (площадь должна быть выражена в соответствующих единицах измерения).

Задача. Длина прямоугольного дома равна 12 метром, а ширина — на 5 метров меньше. Чему равна площадь дома?

Решение: Задача будет решаться в два действия:

1) 12 — 5 = 7 (метров) — ширина дома.

2) 12 · 7 = 84 (м²) — площадь дома.

Ответ: 84 м².

Площадь прямоугольного треугольника | Треугольники

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Любая формула площади треугольника может быть использована и для вычисления площади прямоугольного треугольника.

Выведем формулы для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты, гипотенузу, острый угол, проекции катетов на гипотенузу.

I. Площадь треугольника равна половине произведению стороны на высоту, проведенную у этой стороне:

Поскольку катеты перпендикулярны, то один катет является высотой, проведенной к другому катету.

Поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Формула для нахождения

площади прямоугольного

треугольника

через катеты

Также

площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе:

Так как высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

то можно найти

площадь прямоугольного треугольника

через проекции его

катетов на гипотенузу:

II. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

Для прямоугольного треугольника эту формулу можно записать как

или

Нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле Герона либо через радиус вписанной или описанной окружности также возможно, но нецелесообразно, поскольку ведет к усложнению вычислений.

7 способов найти площадь прямоугольника

1. Если известны две соседние стороны

Просто перемножьте две стороны прямоугольника.

S — искомая площадь прямоугольника;
a и b — соседние стороны.

2. Если известны любая сторона и диагональ

Найдите квадраты диагонали и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте длину известной стороны на полученное число.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
d — любая диагональ (напомним: обе диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину).

3. Если известны любая сторона и диаметр описанной окружности

Найдите квадраты диаметра и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте известную сторону на полученное число.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
D — диаметр описанной окружности.

4. Если известны любая сторона и радиус описанной окружности

Найдите квадрат радиуса и умножьте результат на 4.

Отнимите от полученного числа квадрат известной стороны.

Найдите корень из результата и умножьте на него длину известной стороны.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
R — радиус описанной окружности.

5. Если известны любая сторона и периметр

Умножьте периметр на длину известной стороны.

Найдите квадрат известной стороны и умножьте полученное число на 2.

От первого произведения отнимите второе и разделите результат на 2.

6. Если известны диагональ и угол между диагоналями

Найдите квадрат диагонали.

Разделите полученное число на 2.

Умножьте результат на синус угла между диагоналями.

S — искомая площадь прямоугольника;
d — любая диагональ прямоугольника;
α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

7. Если известны радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Найдите квадрат радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Умножьте полученное число на 2, а потом на синус угла между диагоналями.

S — искомая площадь прямоугольника;
R — радиус описанной окружности;
α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

Урок 22. площадь прямоугольника — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №22. Площадь прямоугольника

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Как вычислить площадь прямоугольника?
В каких единицах измеряется площадь?
Какими способами можно сравнить геометрические фигуры?

Глоссарий по теме:

Площадь – внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Квадратный сантиметр – квадрат со стороной 1 сантиметр.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 60-61.

2. Рудницкая В. Н. Тесты по математике:3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2016 с. 38-43.

3. Волкова Е. В. ВПР. Математика 3 класс Практикум по выполнению типовых заданий. ФГОС .М.: Издательство «Экзамен», 2018, с. 36-53.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Упоминание о первых геометрических фигурах встречается еще у древних египтян и древних шумеров. Учёными-археологами (они ищут разные исторические древности) был найден папирусный свиток (бумага древних египтян, изготавливаемая из растения папирус) с геометрическими задачами, в которых упоминались геометрические фигуры. И каждая из них называлась каким-то определенным словом. Одним определенным словом называлась фигура прямоугольник независимо от того какие стороны были у этого прямоугольника. А если у прямоугольника все стороны были одинаковые, то такой прямоугольник имел специальное название – квадрат. Таким образом, значит, что уже в те далекие времена люди имели представление о геометрии и знали изучаемые этой наукой фигуры. Название «геометрическая фигура» придумали древние греки. И названия всем геометрическим фигурам дали тоже древнегреческие учёные.

Найдём площадь геометрической фигуры.

Чтобы найти площадь фигуры, надо узнать сколько раз в фигуре поместится квадрат со стороной 1 см. Площадь этой геометрической фигуры составляет 18 квадратов. Для удобства подсчёта количество квадратов можно воспользоваться знаниями таблицы умножения. По 6 взять 3 раза получится 18 квадратов.

Найдём площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 3 см.

Для этого достаточно умножить длину на ширину. 6 ∙ 3 = 18 см²

Таким образом, формулируем вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину.

S = a ∙ b

S – площадь

a – длина

b – ширина

Задания тренировочного модуля:

1. Заполните пропуски в таблице.

Правильный ответ:

2. Длина прямоугольника 8см, ширина 4 см. Чему равна площадь прямоугольника? Выделите правильный ответ.

12 см; 32 см; 24 см²; 32 см²; 24; 12 см².

Правильный ответ:^32см².

Как правильно найти площадь фигуры. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Треугольник. Через основание и высоту

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур — любая из них обладает площадью. Площади фигур — это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.

Другие определения данного понятия выглядят следующим образом:

1. Площади простых фигур — скалярные положительные величины, удовлетворяющие условиям:

У равных фигур — равные величины площадей;

Если фигура делится на части (простые фигуры), то ее площадь — сумма площадей данных фигур;

Квадрат, имеющий стороной единицу измерения, служит единицей площади.

2. Площади фигур сложной формы (многоугольников) — положительные величины, имеющие свойства:

У равных многоугольников — одинаковые величины площадей;

В случае, если многоугольник составляют несколько других многоугольников, его площадь равняется сумме площадей последних. Это правило справедливо для неперекрывающихся многоугольников.

В качестве аксиомы принято утверждение, что площади фигур (многоугольников) — положительные величины.

Определение площади круга дается отдельно как величины, к которой стремится площадь вписанного в окружность данного круга — при том, что число его сторон стремится к бесконечности.

Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.

Вычисление площадей уже в древности было важной практической задачей при определении размеров земельных участков. Правила вычисления площадей за несколько сотен лет были сформулированы греческими учеными и изложены в «Началах» Евклида как теоремы. Интересно, что правила определения площадей простых фигур в них — те же, что и в настоящее время. Площади имеющих криволинейный контур, рассчитывались с применением предельного перехода.

Вычисление площадей простых прямоугольника, квадрата), знакомых всем со школьной скамьи, достаточно просто. Необязательно даже запоминать содержащие буквенные обозначения формулы площадей фигур. Достаточно помнить несколько простых правил:

2. Площадь прямоугольника вычисляется умножением его длины на ширину. При этом необходимо, чтобы длина и ширина были выражены в одних и тех же единицах измерения.

3. Площадь сложной фигуры вычисляем, разделив ее на несколько простых и сложив полученные площади.

4. Диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, чьи площади равны и равняются половине его площади.

5. Площадь треугольника вычисляется как половина произведения его высоты и основания.

6. Площадь круга равняется произведению квадрата радиуса на всем известное число «π».

7. Площадь параллелограмма вычисляем как произведение смежных сторон и синуса лежащего между ними угла.

8. Площадь ромба — ½ результата умножения диагоналей на синус внутреннего угла.

9. Площадь трапеции находим умножением ее высоты на длину средней линии, которая равняется среднему арифметическому оснований. Другой вариант определения площади трапеции — перемножить ее диагонали и синус лежащего между ними угла.

Детям в начальной школе для наглядности часто даются задания: найти площадь нарисованной на бумаге фигуры с помощью палетки или листа прозрачной бумаги, разграфленной на клеточки. Такой лист бумаги накладывается на измеряемую фигуру, считается число полных клеточек (единиц площади), поместившихся в ее контуре, затем число неполных, которое делится пополам.

Как найти площадь фигуры?

Знать и уметь рассчитывать площади различных фигур необходимо не только для решения простых геометрических задач. Не обойтись без этих знаний и при составлении или проверке смет на ремонт помещений, расчета количества необходимых расходных материалов. Поэтому давайте разберемся, как находить площади разных фигур.

Часть плоскости, заключенная внутри замкнутого контура, называется площадью этой плоскости. Выражается площадь количеством заключенных в ней квадратных единиц.

Чтобы вычислить площадь основных геометрических фигур, необходимо использовать правильную формулу.

Площадь треугольника

Обозначения:

Если известны h, a, то площадь искомого треугольника определяется как произведение длин стороны и высоты треугольника, опущенной к этой стороне, разделенное пополам: S=(a·h)/2
Если известны a, b, c, то искомая площадь рассчитывается по формуле Герона: корень квадратный, взятый из произведения половины периметра треугольника и трех разностей половины периметра и каждой стороны треугольника: S = √(p·(p — a)·(p — b)·(p — c)).
Если известны a, b, γ, то площадь треугольника определяется как половина произведения 2-х сторон, умноженная на значение синуса угла между этими сторонами: S=(a·b·sin γ)/2
Если известны a, b, c, R, то искомая площадь определяется как деление произведения длин всех сторон треугольника на четыре радиуса описанной окружности: S=(a·b·c)/4R
Если известны p, r, то искомая площадь треугольника определяется умножением половины периметра на радиус вписанной в него окружности: S=p·r

Площадь квадрата

Обозначения:

Если известна сторона, то площадь данной фигуры определяется как квадрат длины его стороны: S=a 2
Если известна d, то площадь квадрата определяется как половина квадрата длины его диагонали: S=d 2 /2

Площадь прямоугольника

Обозначения:

S — определяемая площадь,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Если известны a, b, то площадь данного прямоугольника определяется произведением длин двух его сторон: S=a·b
Если длины сторон неизвестны, то площадь прямоугольника нужно разбить на треугольники. В этом случае площадь прямоугольника определяется как сумма площадей составляющих его треугольников.

Площадь параллелограмма

Обозначения:

S — искомая площадь,
a, b — длины сторон,
h — длина высоты данного параллелограмма,
d1, d2 — длины двух диагоналей,
α — угол, находящийся между сторонами,
γ — угол, находящийся между диагоналями.

Если известны a, h, то искомая площадь определяется перемножением длин стороны и высоты, опущенной на эту сторону: S=a·h
Если известны a, b, α, то площадь параллелограмма определяется перемножением длин сторон параллелограмма и значения синуса угла между этими сторонами: S=a·b·sin α
Если известны d 1 , d 2 , γ то площадь параллелограмма определяется как половина произведения длин диагоналей и значения синуса угла между этими диагоналями: S=(d 1 ·d 2 ·sinγ)/2

Площадь ромба

Обозначения:

S — искомая площадь,
a — длина стороны,
h — длина высоты,
α — меньший угол между двумя сторонами,
d1, d2 — длины двух диагоналей.

Если известны a, h, то площадь ромба определяется умножением длины стороны на длину высоты, которая опущена на эту сторону: S=a·h
Если известны a, α, то площадь ромба определяется перемножением квадрата длины стороны на синус угла между сторонами: S=a 2 ·sin α
Если известны d 1 и d 2 , то искомая площадь определяется как половина произведения длин диагоналей ромба: S=(d 1 ·d 2)/2

Площадь трапеции

Обозначения:

Если известны a, b, c, d, то искомая площадь определяется по формуле: S= (a+b) /2 *√ .
При известных a, b, h, искомая площадь определяется как произведение половины суммы оснований и высоты трапеции: S=(a+b)/2·h

Площадь выпуклого четырехугольника

Обозначения:

Если известны d 1 , d 2 , α, то площадь выпуклого четырехугольника определяется как половина произведения диагоналей четырехугольника, умноженная на величину синуса угла между этими диагоналями: S=(d 1 · d 2 ·sin α)/2
При известных p, r площадь выпуклого четырехугольника определяется как произведение полупериметра четырехугольника на радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник: S=p·r
Если известны a, b, c, d, θ, то площадь выпуклого четырехугольника определяется как корень квадратный из произведений разницы полупериметра и длины каждой стороны за минусом произведения длин всех сторон и квадрата косинуса половины суммы двух противоположных углов: S 2 = (p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd·cos 2 ((α+β)/2)

Площадь круга

Обозначения:

Если известен r, то искомая площадь определяется как произведение числа π на радиус в квадрате: S=π r 2

Если известна d, то площадь круга определяется как произведение числа π на квадрат диаметра, поделенное на четыре: S=(π·d 2)/4

Площадь сложной фигуры

Сложную можно разбить на простые геометрические фигуры. Площадь сложной фигуры определяется как сумма или разность составляющих площадей. Рассмотрим, к примеру, кольцо.

Обозначение:

S — площадь кольца,
R, r — радиусы внешней окружности и внутренней соответственно,
D, d — диаметры внешней окружности и внутренней соответственно.

Для того чтобы найти площадь кольца, надо из площади большего круга отнять площадь меньшего круга. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Таким образом, если известны R и r, то площадь кольца определяется как разница квадратов радиусов внешней и внутренней окружностей, умноженная на число пи: S=π(R 2 -r 2).

Если известны D и d, то площадь кольца определяется как четверть разницы квадратов диаметров внешней и внутренней окружностей, умноженная на число пи: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Площадь закрашенной фигуры

Предположим, что внутри одного квадрата (А) находится другой (Б) (меньшего размера), и нам нужно найти закрашенную полость между фигурами «А» и «Б». Скажем так, «рамку» маленького квадрата. Для этого:

Находим площадь фигуры «А» (вычисляется по формуле нахождения площади квадрата).
Аналогичным образом находим площадь фигуры «Б».
Вычитаем из площади «А» площадь «Б». И таким образом получаем площадь закрашенной фигуры.

Теперь вы знаете, как находить площади разных фигур.

Площади геометрических фигур — численные значения, характеризующие их размер в двумерном пространстве. Эта величина может измеряться в системных и внесистемных единицах. Так, например, внесистемная единица площади — сотка, гектар. Это в том случае, если измеряемой поверхностью является участок земли. Системная же единица площади — квадрат длины. В системе СИ принято считать, что единица площади плоской поверхности — это квадратный метр. В СГС единица площади выражается через квадратный сантиметр.

Геометрия и формулы площадей неразрывно связаны. Эта связь заключается в том, что вычисление площадей плоских фигур основывается именно на их применении. Для многих фигур выведены несколько вариантов, по которым вычисляются их квадратные размеры. Опираясь на данные из условия задачи, мы можем определить максимально простой способ для решения. Тем самым облегчить расчет и свести вероятность ошибки вычисления к минимуму. Для этого рассмотрим основные площади фигур в геометрии.

Формулы для нахождения площади любого треугольника представлены несколькими вариантами:

1) Площадь треугольника рассчитывается по основанию a и высоте h. Основанием считают сторону фигуры, на которую опущена высота. Тогда площадь треугольника:

2) Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается точно также, если гипотенузу считать основанием. Если же за основание принять катет, то площадь прямоугольного треугольника будет равна уменьшенному вдвое произведению катетов.

На этом формулы для вычисления площади любого треугольника не заканчиваются. Другое выражение содержит стороны a,b и синусоидальную функцию угла γ, заключенного между a и b. Значение синуса находится по таблицам. Также его можно узнать с помощью калькулятора. Тогда площадь треугольника:

По данному равенству тоже можно убедиться в том, что площадь прямоугольного треугольника определяется через длины катетов. Т.к. угол γ — прямой, поэтому площадь прямоугольного треугольника рассчитывается без умножения на функцию синуса.

3) Рассмотрим частный случай — правильный треугольник, у которого сторона a известна по условию или ее длина найдется при решении. О фигуре в задаче по геометрии больше ничего не известно. Тогда площадь как найти при этом условии? В этом случае применяется формула для площади правильного треугольника:

Прямоугольник

Как найти площадь прямоугольника и использовать при этом размеры сторон, имеющих общую вершину? Выражение для вычисления такое:

Если для вычисления площади прямоугольника требуется использовать длины диагоналей, то тогда понадобится функция синуса угла, образованного при их пересечении. Такая формула площади прямоугольника имеет вид:

Квадрат

Площадь квадрата определяют как вторую степень длины стороны:

Доказательство вытекает из определения, согласно которому квадратом называют прямоугольник. У всех сторон, образующих квадрат, одинаковые размеры. Поэтому вычисление площади такого прямоугольника сводится к перемножению одной на другую, т. е. ко второй степени стороны. И формула для вычисления площади квадрата примет искомый вид.

Площадь квадрата можно найти другим способом, например, если использовать диагональ:

Как вычислить площадь фигуры, которая образована частью плоскости, ограниченной окружностью? Для расчета площади формулы такие:

Параллелограмм

Для параллелограмма формула содержит линейные размеры стороны, высоты и математическое действие — умножение. Если же высота неизвестна, то тогда как найти площадь параллелограмма? Есть еще один способ вычисления. Потребуется определенное значение, которое примет тригонометрическая функция угла, образованного смежными сторонами, а также их длины.

Формулы площади параллелограмма таковы:

Ромб

Как найти площадь четырехугольника, называемого ромбом? Площадь ромба определяется с помощью простых математических действий с диагоналями. Доказательство опирается на тот факт, что отрезки диагоналей в d1 и d2 пересекаются под прямым углом. По таблице синусов видно, что для прямого угла данная функция равна единице. Поэтому площадь ромба рассчитывается так:

Еще площадь ромба может быть найдена другим способом. Доказать это тоже нетрудно, если учесть, что стороны его одинаковы по длине. Затем подставить их произведение в похожее выражение для параллелограмма. Ведь частным случаем именно этой фигуры является ромб. Здесь γ — внутренний угол ромба. Площадь ромба определяют так:

Трапеция

Как найти площадь трапеции через основания (a и b), если в задаче указаны их длины? Здесь без известного значения длины высоты h вычислить площадь такой трапеции не удастся. Т.к. эту величину содержит выражение для вычисления:

Квадратный размер прямоугольной трапеции тоже можно вычислить таким же способом. При этом учитывают, что в прямоугольной трапеции понятия высоты и боковой стороны объединены. Поэтому для прямоугольной трапеции нужно указывать вместо высоты длину боковой стороны.

Цилиндр и параллелепипед

Рассмотрим что нужно, чтобы рассчитать поверхность всего цилиндра. Площадь данной фигуры составляет пара кругов, называемых основаниями, и боковая поверхность. Окружности, образующие круги имеют длины радиусов, равные r. Для площади цилиндра имеет место такое вычисление:

Как найти площадь параллелепипеда, который состоит из трех пар граней? Его измерения совпадают с конкретной парой. Грани, находящиеся противоположно, имеют одинаковые параметры. Сначала находят S(1), S(2), S(3) — квадратные размеры неравных граней. Затем уже площадь поверхности параллелепипеда:

Кольцо

Две окружности с общим центром образуют кольцо. Они же ограничивают площадь кольца. При этом обе расчетные формулы учитывают размеры каждой окружности. Первая из них, вычисляющая площадь кольца, содержит больший R и меньший r радиусы. Чаще их называют внешним и внутренним. Во втором выражении площадь кольца рассчитывается через больший D и меньший d диаметры. Таким образом, площадь кольца по известным радиусам рассчитывают так:

Площадь кольца, с использованием длин диаметров, определяют следующим образом:

Многоугольник

Как найти площадь многоугольника, форма которого не является правильной? Общей формулы для площади таких фигур нет. Но если она изображена на координатной плоскости, например, это может быть клетчатая бумага, тогда как найти площадь поверхности в этом случае? Тут применяют способ, который не требует приблизительно измерить фигуру. Поступают так: если нашли точки, которые попадают в уголок клетки или имеют целые координаты, то учитывают только их. Чтобы затем выяснить, чему равна площадь, используют формулу, доказанную Пиком. Необходимо сложить количество точек, расположенных внутри ломаной линии с половиной точек, лежащих на ней, и вычесть единицу, т. е. вычисляется это таким образом:

где В,Г — количество точек, расположенных внутри и на всей ломаной линии соответственно.

Если вы планируете сделать ремонт самостоятельно, то у вас возникнет необходимость составить смету по строительным и отделочным материалам. Для этого вам понадобится рассчитать площадь помещения, в котором вы планируете произвести ремонтные работы. Главным помощником в этом выступает специально разработанная формула. Площадь помещения, а именно ее расчет, позволит вам сэкономить немалые деньги на строительных материалах и направить высвободившиеся денежные ресурсы в более нужное русло.

Геометрическая форма комнаты

Формула расчета площади помещения напрямую зависит от ее формы. Наиболее типичными для отечественных сооружений являются прямоугольные и квадратные комнаты. Однако в ходе перепланировки стандартная форма может искажаться. Комнаты бывают:

Прямоугольные.
Квадратные.
Сложной конфигурации (например, круглые).
С нишами и выступами.

Каждая из них имеет свои особенности расчета, но, как правило, используется одна и та же формула. Площадь помещения любой формы и размера, так или иначе, поддается вычислению.

Помещение прямоугольной или квадратной формы

Чтобы рассчитать площадь комнаты прямоугольной или квадратной формы, достаточно вспомнить школьные уроки геометрии. Поэтому для вас не должно составить особого труда определить площадь помещения. Формула расчета имеет вид:

S комнаты=A*B, где

А — длина помещения.

В — ширина помещения.

Для измерения этих величин вам понадобится обычная рулетка. Чтобы получить наиболее точные расчёты, стоит измерить стену с обеих сторон. Если значения не сходятся, возьмите за основу среднее значение получившихся данных. Но помните, что любые расчёты имеют свои погрешности, поэтому материал стоит закупать с запасом.

Помещение со сложной конфигурацией

Если ваша комната не попадает под определение «типичной», т.е. имеет форму круга, треугольника, многоугольника, то, возможно, для расчетов вам понадобится другая формула. Площадь помещения с такой характеристикой можно попробовать условно разделить на прямоугольные элементы и произвести расчеты стандартным путем. Если такой возможности у вас нет, тогда воспользуйтесь следующими методиками:

Формула нахождения площади круга:

S комн.=π*R 2 , где

R — радиус помещения.

Формула нахождения площади треугольника:

S комн.= √ (P(P — A) х (Р — В) х (Р — С)), где

Р — полупериметр треугольника.

А, В, С — длины его сторон.

Отсюда Р=А+В+С/2

Если в процессе расчета у вас возникли затруднения, то лучше не мучать себя и обратиться к профессионалам.

Площадь помещения с выступами и нишами

Зачастую стены украшают декоративными элементами в форме всевозможных ниш или выступов. Также их наличие может быть обусловлено необходимостью скрыть некоторые неэстетичные элементы вашей комнаты. Наличие выступов или ниш на вашей стене означает, что расчет следует проводить поэтапно. Т.е. сначала находится площадь ровного участка стены, а затем к нему прибавляется площадь ниши или выступа.

Площадь стены находится по формуле:

S стен = Р х С, где

Р — периметр

С — высота

Также нужно учитывать наличие окон и дверей. Их площадь необходимо отнять от получившегося значения.

Комната с многоуровневым потолком

Многоуровневый потолок не так сильно усложняет расчеты, как это кажется на первый взгляд. Если он имеет простую конструкцию, то можно произвести расчеты по принципу нахождения площади стен, осложненных нишами и выступами.

Однако если конструкция вашего потолка имеет дуго- и волнообразные элементы, то целесообразнее определить его площадь с помощью площади пола. Для этого необходимо:

Найти размеры всех прямых участков стен.
Найти площадь пола.
Перемножить длину и высоту вертикальных участков.
Суммировать получившееся значение с площадью пола.

Пошаговая инструкция по определению общей

площади помещения

Освободите помещение от ненужных вещей. В процессе замеров вам понадобится свободный доступ ко всем участкам вашей комнаты, поэтому нужно избавиться от всего, что может этому препятствовать.
Визуально разделите комнату на участки правильной и неправильной формы. Если ваше помещение имеет строго квадратную или прямоугольную форму, то этот этап можно пропустить.
Сделайте произвольную схему помещения. Этот чертеж нужен для того, чтобы все данные были у вас всегда под рукой. Также он не даст вам возможности запутаться в многочисленных замерах.
Замеры необходимо производить несколько раз. Это важное правило для исключения ошибок в подсчетах. Также если вы используете убедитесь, что луч лежит ровно на поверхности стены.
Найдите общую площадь помещения. Формула общей площади помещения заключается в нахождении суммы всех площадей отдельных участков комнаты. Т.е. S общ.= S стен+S пола+S потолка

В геометрии площадь фигуры является одной из основных численных характеристик плоского тела. Что такое площадь, как ее определять у различных фигур, а также какие свойства она имеет — все эти вопросы мы рассмотрим в данной статье.

Что такое площадь: определение

Площадь фигуры — это число единичных квадратов в этой фигуре; неформально выражаясь, это размер фигуры. Чаще всего, площадь фигуры обозначается как «S». Её можно измерить с помощью палетки или прибора планиметр. Также площадь фигуры можно вычислить, зная основные ее размеры. Например, площадь треугольника можно вычислить по трем различным формулам:

Площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину, а площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число π=3,14.

Свойства площади фигуры

площадь равна у равных фигур;
площадь всегда неотрицательна;
единицей измерения площади является площадь квадрата со стороной, равной 1 единице длины;
если фигура разделена на две части, то общая площадь фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей;
фигуры, равные по площади, называются равновеликими;
если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не может превосходить площади второй.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab	a и b – смежные стороны
		Посмотреть вывод формулы	d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями
		S = 2R² sin φ Получается из верхней формулы подстановкой d=2R	R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями
Параллелограмм		S = a h_a Посмотреть вывод формулы	a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
		S = absin φ Посмотреть вывод формулы	a и b – смежные стороны, φ – угол между ними
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
Квадрат		S = a²	a – сторона квадрата
		S = 4r²	r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	d – диагональ квадрата
		S = 2R² Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R	R – радиус описанной окружности
Ромб		S = a h_a Посмотреть вывод формулы	a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
		S = a² sin φ Посмотреть вывод формулы	a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали
		S = 2ar Посмотреть вывод формулы	a – сторона, r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба
Трапеция		Посмотреть вывод формулы	a и b – основания, h – высота
		S = m h	m – средняя линия, h – высота
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
		Посмотреть вывод формулы	a и b – основания, c и d – боковые стороны
Дельтоид		S = ab sin φ	a и b – неравные стороны, φ – угол между ними
			a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b.
		S = (a + b) r Посмотреть вывод формулы	a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали
Произвольный выпуклый четырёхугольник		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
Вписанный четырёхугольник		, Посмотреть вывод формулы Брахмагупты	a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр, Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
	S = ab где a и b – смежные стороны
	где d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями Посмотреть вывод формулы
	S = 2R² sin φ где R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
	S = a h_a где a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	S = absin φ где a и b – смежные стороны, φ – угол между ними Посмотреть вывод формулы
	где d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
Квадрат
	S = a² где a – сторона квадрата
	S = 4r² где r – радиус вписанной окружности
	где d – диагональ квадрата Посмотреть вывод формулы
	S = 2R² где R – радиус описанной окружности Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
	S = a h_a где a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	S = a² sin φ где a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба Посмотреть вывод формулы
	где d₁, d₂ – диагонали Посмотреть вывод формулы
	S = 2ar где a – сторона, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба Посмотреть вывод формулы
Трапеция
	где a и b – основания, h – высота Посмотреть вывод формулы
	S = m h где m – средняя линия, h – высота
	где d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
	где a и b – основания, c и d – боковые стороны Посмотреть вывод формулы
Дельтоид
	S = ab sin φ где a и b – неравные стороны, φ – угол между ними
	где a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b.
	S = (a + b) r где a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где d₁, d₂ – диагонали Посмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
	где d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
	, где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр Формулу называют «Формула Брахмагупты» Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник

S = ab

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

S = 2R² sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

S = a h_a

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

где
d₁, d₂ – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат

S = a²

где
a – сторона квадрата

S = 4r²

где
r – радиус вписанной окружности

где
d – диагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

S = 2R²

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

S = a h_a

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = a² sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

где
d₁, d₂ – диагонали

Посмотреть вывод формулы

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

где
d₁, d₂ – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны,

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
d₁, d₂ – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник

где
d₁, d₂ – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где d₁ и d₂ – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a h_a ,

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

S_ABCD = S_AEFD = a h_a ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

Доказательство. Поскольку

h_a = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a h_a = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис.6).

Рис. 6

Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Следовательно,

где

что и требовалось доказать.

Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Найти периметр из области | Прямоугольник, квадрат и круг

Найти периметр из области

Для некоторых геометрических фигур вы можете определить периметр области. С равносторонними треугольниками, квадратами и кругами вы можете использовать формулы, чтобы найти их периметры из заданных площадей. Чтобы найти периметр прямоугольника, вы должны знать размер одной стороны и площадь прямоугольника.

Как попасть в периметр из зоны

Чтобы найти периметр фигуры по ее площади, сначала нужно вычислить формулу площади для этого конкретного многоугольника.Это можно сделать для нескольких различных форм:

Как найти периметр из площади треугольника

Самая простая двумерная форма — это треугольник, а у равностороннего треугольника три совпадающие стороны. Вы можете найти периметр равностороннего треугольника, если знаете его площадь.

Формула площади A равностороннего треугольника со сторонами длиной s:

Мы можем заменить 1,732 на 3, чтобы упростить вычисления:

Поскольку нам дано значение для A, мы можем использовать алгебру, чтобы найти s.Наше значение периметра — это всегда линейное измерение, производное от квадратных единиц площади.

Предположим, нам сказали, что наш равносторонний треугольник имеет площадь 125,141 см2. Это автоматически говорит нам, что наш периметр будет измеряться в сантиметрах.

Мы подставляем наши известные значения, чтобы найти неизвестное значение:

125,141 см2 = (с2) (1,732) 4

125,141 см2 = (s2) (0,433)

125,141 см2 0,433 = (s2) (0,433) 0,433

289,00 9237 см2 ≈ s2

289.009237 см2 ≈ s2

17 см = с

Затем вы подставляете длину своей стороны в периметр формулы треугольника. Формула периметра:

Получаем 51 см.

Этот процесс можно упростить до формулы:

Работая изнутри наружу, начните с нахождения частного 43, затем умножьте это частное на данную площадь, A, и, наконец, найдите квадратный корень из произведения частного на площадь.

Разумный ответ можно найти, подставив 1.732 для 3, что дает значение 1,519693, которое нужно умножить на любую заданную площадь.

Найдите периметр квадрата из области

Несмотря на всю сложность определения периметра площади равностороннего треугольника, для квадратов процесс намного проще.

Квадрат — единственный правильный четырехугольник; его стороны совпадают, а его внутренние углы совпадают. Если вам дана площадь квадрата A в квадратных единицах, периметр P в линейных единицах будет в 4 раза больше квадратного корня из этого числа:

Для нашего изображенного квадрата мы подставляем нашу площадь, находим его квадратный корень и 4, чтобы получить общий периметр:

P = 4225 ярдов2

P = 4 (15) ярдов

P = 60 ярдов

Как найти периметр прямоугольника площадью

Вы не можете найти периметр прямоугольника, учитывая только площадь прямоугольника.Вы также должны знать длину или ширину прямоугольника, чтобы определить периметр. Стороны прямоугольника не равны по длине, поэтому вы должны знать длину хотя бы одной стороны.

Напомним, что площадь прямоугольника A в квадратных единицах равна ширине (w) × длине (l), а периметр P равен 2 (w + l) в линейных единицах, производных от единиц площади.

Допустим, у нас есть большой прямоугольный участок земли. Учитывая длину одной стороны и площадь, вы можете найти периметр, подставив два известных значения в формулы:

Мы знаем, что наша земля имеет ширину 20 миль и занимает площадь в 500 квадратных миль, поэтому мы подключаем то, что знаем:

A = ш × д

500 миль2 = 20 миль × l

500 миль220 = 20 миль20 × l

25 миль = l

Теперь мы используем найденное нами значение длины, 25 миль, в нашей формуле для периметра:

P = 2 (ширина + длина)

P = 2 (20 миль + 25 миль)

P = 2 (45 миль)

P = 90 миль

Как найти периметр круга площадью

Периметр окружности называется окружностью окружности.

Чтобы найти длину окружности C (периметр) площади круга A, вы применяете формулу:

Вот круг площадью 1000 км2. Мы можем включить нашу известную область в формулу и работать изнутри.

Мы начинаем с того, что принимаем значение π равным 3,14 и умножаем его на нашу заданную площадь:

3,14 × 1000 км2

3140 км2

Далее извлекаем квадратный корень из этого:

3140 км2 = 56,0357 км

Мы наконец умножаем это на 2:

56.0357 км × 2 = 112,0714 км

Ага, это большой круг! Но математика верна. Формула работает, и она работает каждый раз, с каждым кругом.

Викторина

Посмотрите, насколько хорошо вы можете ориентироваться в геометрических фигурах. Решите эти вопросы, а затем сравните свою работу с нашими ответами ниже.

Какова связь между площадью и периметром квадрата?
Объясните, пожалуйста, как получить периметр от площади для квадрата.
В каких единицах измерения всегда измеряется периметр: линейных, квадратных или кубических?
Найдите периметр этой фигуры, квадрат:

Пожалуйста, проработайте каждый вопрос, прежде чем проверять свои ответы.

Соотношение между площадью и периметром квадрата таково, что периметр равен 4-кратному квадратному корню из площади.
Чтобы получить периметр квадрата из площади, умножьте квадратный корень из площади на 4.
Периметр всегда измеряется в линейных единицах, которые вычисляются из квадратных единиц площади.
Периметр квадрата площадью 2025 м2 равен 180 м, потому что периметр P равен 42 025 м2, что дает нам 4 (45 м), что дает нам 180 м.

Следующий урок:

Что такое площадь?

Как найти периметр из области — Видео и стенограмма урока

Периметр квадрата

Давайте начнем с квадрата и изучим этот пример задачи. Найдите периметр квадрата площадью 64 квадратных метра.

Шаг 1

Запомните формулы для площади и периметра квадрата. Площадь квадрата равна a = s 2, или сторона, умноженная на сторону, в то время как периметр равен p = 4 s , или в 4 раза s .

Шаг 2

Найдите длину одной стороны, подставив значение площади в формулу и решив для s. В данном случае 64 = с 2, поэтому с = 8.

Шаг 3

Подставьте значение s (длина стороны) в формулу периметра и решите.

p = 4 x 8, поэтому p = 32

Периметр круга

Затем давайте рассмотрим пример задачи, чтобы найти периметр круга по его площади.Найдите периметр круга площадью 9 пикселей.

Шаг 1

Запомните формулы для площади и периметра круга. Площадь круга равна a = pi * радиус 2, а периметр круга, более известный как окружность , равен p = 2pi * радиус.

Шаг 2

Найдите длину радиуса, подставив площадь и решив формулу

9pi = pi * r 2

Разделите на пи, чтобы получить: 9 = r 2

r = 3

Шаг 3

Подставьте значение r в формулу периметра

p = 2 * pi * 3

p = 6pi

Периметр прямоугольника

Невозможно определить периметр прямоугольника, учитывая только площадь.Площадь прямоугольника зависит от двух неизвестных, длины и ширины, поэтому вам необходимо указать хотя бы одну сторону прямоугольника вместе с площадью, чтобы определить другую сторону и, таким образом, периметр.

Рассмотрим пример задачи. Найдите периметр прямоугольника длиной 4 и площадью 36м2.

Шаг 1

Запомните формулу для периметра и площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна a = длина * ширина, а периметр равен p = (2 * длина) + (2 * ширина)

Шаг 2

Подставьте известные значения в формулу площади

36 = 4 * w

36/4 = w

w = 9

Шаг 3

Подставьте значения длины и ширины в формулу периметра.

р = 2 * 4 + 2 * 9

р = 8 + 18 = 26

Форматирование ответов

Ответы для каждого из этих вычислений будут в стандартных единицах , а не в квадрате. Вы должны использовать то же измерение, что и в исходной задаче, чтобы отформатировать свой ответ.

В примере задачи нахождения периметра квадрата площадь была дана в квадратных метрах, поэтому периметр должен быть указан в метрах. Таким образом, ответ — 32м.Если исходная задача не дает результатов, в ответе не следует использовать никакие измерения.

Как и в случае с квадратом, ответ для периметра круга должен быть дан в стандартных единицах исходной меры, если не была указана никакая мера. В этом примере измерения не проводились, поэтому ответ — 6 * пи. Обычно используется значение числа Пи 3,14159, поэтому также можно вычислить 6 * 3,14159, чтобы получить 18,84954 в качестве ответа на периметр этого круга.

Как и в других примерах, с прямоугольником, если площадь дана в квадратах, периметр должен быть в стандартных единицах.Здесь правильно отформатированный ответ — 26м.

Советы для всех правильных форм

Помните, что правильные формы — это формы с равными сторонами. Чтобы найти периметр правильной формы из области этой формы, вам необходимо знать формулы для площади и периметра формы.

Шаг 1 — подставить площадь в формулу площади и найти длину одной стороны. Поскольку это правильная форма, вы знаете, что все стороны равны.

Шаг 2 — подставить значение стороны в формулу периметра и решить.

Шаг 3 просто обеспечивает правильное форматирование ответа. Периметр всегда указывается в стандартных единицах.

Результаты обучения

После завершения этого урока учащиеся должны уметь:

Вычислять периметр квадрата, круга и прямоугольника с использованием площади
Вспомните, как форматировать вычисления периметра

Математика в 5-м классе | Как найти площадь формы

Вероятно, вы не потратите много времени на поиск области фигур в 5-м классе по математике, но это хорошая идея, чтобы попрактиковаться в этом важном навыке геометрии.Читайте обзор и некоторые практические задачи!

Определение площади формы

В шестом классе вы научитесь вычислять площади фигур, таких как треугольники и специальные четырехугольники, но пока вам просто нужно найти площади прямоугольников. Помните, что область — это объем двумерного пространства, которое занимает фигура, а прямоугольник — это форма, которая имеет четыре прямых угла и два набора параллельных сторон. Формула для определения площади прямоугольника: Площадь = (Длина) x (Ширина) .

Единиц на Площадь

Площадь указывается в квадратных единицах , таких как квадратные дюймы, квадратные сантиметры и квадратные футы. В каких бы единицах ни измерялась длина и ширина вашего прямоугольника, ваш ответ будет в квадрате этих единиц. Например, если ваш прямоугольник составляет пять метров в длину и четыре метра в ширину, его площадь будет составлять 20 квадратных метра , поскольку длина и ширина измеряются в метрах.

Совет : Убедитесь, что длина и ширина вашего прямоугольника измеряются в одних и тех же единицах.Если это не так, вам нужно преобразовать единицы, чтобы они были одинаковыми.

Практические задачи

Ваш класс имеет длину 20 футов и ширину десять футов. Найдите область.
Если вы хотите построить кирпичную стену высотой в десять кирпичей и шириной в 100 кирпичей, сколько кирпичей вам понадобится?
Дверь в дом Сандры трехметровая в высоту и 100 сантиметров в ширину. Какая у него площадь? Выразите свой ответ в квадратных метрах.
Сад Фатимы имеет площадь 25 квадратных ярдов и длину пять ярдов.Какая ширина у Фатимы?
У Алекса есть синий кусок плаката длиной десять сантиметров и шириной 12 сантиметров. У него также есть желтый кусок длиной 12 сантиметров и шириной восемь сантиметров. Какая фигура имеет большую площадь, синяя или желтая?

Ключ ответа

Используйте формулу Площадь = (Длина) x (Ширина). Так как классная комната имеет длину 20 футов и ширину десять футов, умножьте 20 футов на десять футов, чтобы получить площадь 200 квадратных футов (20 x 10 = 200).
Длина стены 100 кирпичей, высота 10 кирпичей. Поскольку 100 x 10 = 1000, для его постройки потребуется 1000 кирпичей .
Сначала преобразуйте 100 сантиметров в метры. Так как 100 см = 1 м, дверь Сандры имеет ширину в один метр. Теперь умножьте длину на ширину (3 x 1), чтобы получить площадь на три квадратных метра .
Поскольку вы знаете, что длина равна пяти ярдам, а площадь — 25 квадратных ярдов, вам нужно решить уравнение 5 x? = 25. Поскольку 5 x 5 = 25, сад Фатимы имеет ширину пять ярдов .
Площадь синего элемента составляет 120 квадратных сантиметров, так как 10 x 12 = 120. Площадь желтого элемента составляет 96 квадратных сантиметров, так как 12 x 8 = 96. Синий элемент имеет большую площадь. потому что 120 см> 96 см.

Области прямоугольников и квадратов — математика для 3-го класса

Как найти площадь прямоугольников и квадратов

Прямоугольники и квадраты — две наиболее распространенные формы.

Можете ли вы представить себе прямоугольник? 🤔

Вот несколько примеров прямоугольных объектов:

Можете ли вы думать о квадратных объектах?

Вот несколько квадратных объектов:

В этом уроке мы научимся находить площадь прямоугольников и квадратов.

Давайте рассмотрим

Площадь — это пространство, которое занимает фигура или объект.

Посмотрите на эту фигуру.

Сколько квадратов покрывает этот зеленый прямоугольник?

Он покрывает 6 квадратов.

Его площадь составляет 6 квадратных единиц .

Мы используем единиц площади , чтобы точно знать, как измеряется форма.

Например, если каждый квадрат в приведенной выше сетке равен 1 квадратному метру, то площадь зеленого прямоугольника составляет 6 квадратных метров .

Совет: Мы можем записать 6 квадратных метров как 6 м² . Это читается как «6 квадратных метров » .

Обратите внимание на маленькую цифру 2, написанную в правом верхнем углу m. Это действительно важно.

Площадь прямоугольника

Чтобы узнать площадь прямоугольника, мы подсчитываем количество квадратов , которые он покрывает.

Другой способ — умножить на на длину сторон .

В прямоугольнике противоположных сторон равны .

Длина сторон, идущих от слева направо , называется шириной .

Длина сторон, идущих от сверху вниз , называется высотой или длиной .

Чтобы найти площадь прямоугольника , умножьте ширину на высоту.

ширина x высота = площадь

Давайте воспользуемся этой формулой, чтобы найти ширину зеленого прямоугольника.

Сначала , знайте ширину и высоту.

Ширина составляет 3 квадратных единицы, а высота составляет 2 квадратных единицы.

Теперь умножьте ширину на высоту.

3 x 2 = 6 квадратных единиц

✅ Если 1 квадратная единица равна 1 квадратному метру, то 6 квадратных единиц равны 6 квадратным метрам (6 м²).

Это тот же ответ, который мы получили, когда подсчитали каждый квадрат. 😃

Площадь квадрата

У квадрата 4 равные стороны.

Это означает, что длина сторон одинакова.

Чтобы найти площадь квадрата , умножьте на длину одной стороны на себя.

Какая площадь у этого квадрата?

Длина каждой стороны 3.

3 x 3 = 9 квадратных единиц

Площадь квадрата 9 кв.

✅ Если 1 квадратная единица равна 1 сантиметру, то 9 квадратных единиц равны 9 квадратному сантиметру (9 см²).

Отличная работа!

Без сеток

Если нет сеток с квадратами, чтобы помочь вам, вы все равно можете вычислить площадь фигуры.

Чтобы найти площадь прямоугольника , умножьте :

длина ширины x длина высоты = площадь

Чтобы найти площадь квадрата , умножьте :

длина любой стороны сама по себе

Попрактикуемся на примерах!

Найдите площадь этого прямоугольника:

Мы видим, что ширина 10 дюймов, а высота 6 дюймов.

Мы умножаем этих двух чисел вместе.

10 x 6 = 60

✅ Площадь этого прямоугольника составляет 60 квадратных дюймов (или 60 дюймов²) .

😃 Обязательно укажите после числа, указав единицу площади .

Какова площадь этого квадрата?

Длина одной стороны 4 фута.

Давайте умножим на себя.

4 фута x 4 фута = 16 квадратных футов

✅ Площадь этого квадрата составляет 16 квадратных футов или 16 футов².

Отличная работа!

Смотри и учись

Теперь попробуйте выполнить практические упражнения. 💪

Программа Python

для поиска области прямоугольника

В этом руководстве по Python вы узнаете о программе Python для поиска области прямоугольника , а также мы проверим :

Как найти площадь прямоугольника в Python
Программа Python для вычисления площади прямоугольника с помощью функции
Как найти площадь и периметр прямоугольника в Python
Программа Python, чтобы найти площадь и периметр прямоугольника прямоугольник с помощью функции
Как найти площадь прямоугольника с помощью классов в Python

Программа Python для поиска площади прямоугольника

Давайте посмотрим программу Python , чтобы найти площадь прямоугольника .

Во-первых, мы возьмем ввод от пользователя для длины , и ширины , , используя функцию input () .
Теперь мы вычислим площадь прямоугольника по формуле Area = l * b .
Наконец, напечатает площадь прямоугольника, чтобы увидеть результат.

Пример:

  l = float (input ('Введите длину прямоугольника:'))
b = float (input ('Введите ширину прямоугольника:'))
Площадь = l * b
print ("Площадь прямоугольника:%.2f "% Площадь)

Вы можете обратиться к приведенному ниже снимку экрана, чтобы увидеть, как программа Python находит область прямоугольника.

Программа Python для поиска области прямоугольника

Код, который мы можем использовать для поиска области прямоугольника в Python .

Также проверьте, как вычислить простой процент в Python и как найти площадь треугольника в Python?

Программа Python для вычисления площади прямоугольника с помощью функции

Здесь мы увидим программу Python для вычисления площади прямоугольника с помощью функции .

Во-первых, мы определим функцию с двумя аргументами, используя ключевые слова def.
Теперь мы вычислим площадь прямоугольника внутри функции по формуле Площадь = ширина * высота .
Пользователь вводит ширину и высоту прямоугольника, и мы передадим эти значения аргументам функции.
Наконец, напечатает площадь прямоугольника, чтобы увидеть результат.

Пример:

  def AreaofRectangle (ширина, высота):
    Площадь = ширина * высота
    print ("Площадь прямоугольника:%.2f "% Площадь)
Площадь прямоугольника (8, 6)

Вы можете обратиться к приведенному ниже снимку экрана, чтобы увидеть выходные данные программы python для вычисления площади прямоугольника с помощью функции.

Программа Python для вычисления площади прямоугольника с помощью функции

Приведенный выше код, мы можем использовать для вычисления площади прямоугольника с помощью функции в Python .

Проверьте, программа Python для печати выкройки.

Программа на Python для определения площади и периметра прямоугольника

Теперь мы увидим программу Python для определения площади и периметра прямоугольника .

Во-первых, мы возьмем ввод от пользователя для длины , и ширины , , используя функцию input () .
Теперь мы вычислим площадь прямоугольника по формуле Площадь = w * h .
Затем мы вычисляем периметр прямоугольника Периметр = 2 * (w + h)
Наконец, напечатайте площадь и периметр прямоугольника, чтобы увидеть результат.

Пример:

  w = float (input ('Введите ширину прямоугольника:'))
h = float (input ('Введите высоту прямоугольника:'))
Площадь = ш * в
Периметр = 2 * (ш + в)
print ("Площадь прямоугольника:%.2f "% Площадь)
print («Периметр прямоугольника:% .2f»% Периметр)

Вы можете обратиться к приведенному ниже снимку экрана, чтобы увидеть результат программы python для определения площади и периметра прямоугольника.

Программа Python для определения площади и периметра прямоугольника

Приведенный выше код, мы можем использовать для поиска площади и периметра прямоугольника в Python .

Вам также может понравиться программа на Python для определения площади квадрата.

Программа Python для определения площади и периметра прямоугольника с помощью функции

Давайте посмотрим на программу Python , чтобы найти площадь и периметр прямоугольника с помощью функции .

Во-первых, мы определим функцию с двумя аргументами, используя ключевые слова def.
Теперь мы вычислим площадь прямоугольника внутри функции по формуле Площадь = ширина * высота .
Затем мы вычисляем периметр прямоугольника внутри функции по формуле Периметр = 2 * (ширина + высота) .
Разрешите пользователю ввести ширину и высоту прямоугольника с помощью функции input , и мы передадим эти значения аргументам функции.
Наконец, напечатает площадь и периметр прямоугольника, чтобы увидеть результат.

Пример:

  def Площадь прямоугольника (ширина, высота):
    Площадь = ширина * высота
    Периметр = 2 * (ширина + высота)
    print ("Площадь прямоугольника:% .2f"% Площадь)
    print ("Периметр прямоугольника:% .2f"% Периметр)
width = float (input ('Введите ширину прямоугольника:'))
height = float (input ('Введите высоту прямоугольника:'))
Площадь прямоугольника (ширина, высота)

Вы можете обратиться к приведенному ниже снимку экрана, чтобы увидеть вывод программы Python, чтобы найти площадь и периметр прямоугольника с помощью функции.

Программа Python для определения площади и периметра прямоугольника с помощью функции

Приведенный выше код Python мы можем использовать для определения площади и периметра прямоугольника с помощью функции.

Прочтите, Как напечатать факториал числа в Python.

Программа Python для поиска площади прямоугольника с использованием классов

Давайте посмотрим на программу Python , чтобы найти площадь прямоугольника с использованием классов .

Во-первых, мы создадим класс с именем rectangle , а метод __init __ () будет использоваться для инициализации значений этого класса.
Метод с именем area (self) возвращает self.length * self.breadth , который является областью класса.
Пользователь вводит значение длины , и ширины , используя функцию input .
Объект для класса создается как obj = rectangle (l, b)
При использовании объекта вызывается метод area () с периметрами как длиной и шириной, взятыми у пользователя.
Наконец, напечатает площадь прямоугольника, чтобы увидеть результат.

Пример:

  прямоугольник класса ():
    def __init __ (себя, длина, ширина):
        self.length = длина
        self.breadth = ширина
    область определения (self):
        вернуть self.length * self.breadth
l = int (input ("Введите длину прямоугольника:"))
b = int (input ("Введите ширину прямоугольника:"))
obj = прямоугольник (l, b)
print ("Площадь прямоугольника:", obj.area ())

Вы можете обратиться к приведенному ниже снимку экрана, чтобы увидеть результат для программы Python , чтобы найти площадь прямоугольника с использованием классов .

Программа Python для поиска площади прямоугольника с помощью классов

Это программа Python для поиска площади прямоугольника с использованием классов .

Вам могут понравиться следующие уроки Python:

В этом руководстве по Python мы узнали о программе Python для поиска области прямоугольника . Кроме того, мы рассмотрели следующие темы:

Программа Python для определения площади прямоугольника
Программа Python для вычисления площади прямоугольника с помощью функции
Программа Python для определения площади и периметра прямоугольника
Программа Python для определения площади и периметра прямоугольника с использованием function
Программа Python для определения площади прямоугольника с использованием классов

Как найти площадь и периметр треугольника [видео]

Привет, и добро пожаловать в это видео о периметре и площади треугольника!

Для начала давайте быстро рассмотрим, что измеряют периметр и площадь .Представьте, что у нас есть двор треугольной формы.

Если мы хотим построить забор вокруг двора, нам нужно знать расстояние вокруг двора. Это периметр . Если бы мы хотели купить дерн для нашего двора, нам нужно было бы знать площадь двора, чтобы мы могли купить нужное количество.

И хотя было бы немного необычно иметь двор, имеющий форму треугольника, у вас может быть , часть ярда, который вы хотите оградить забором или дерном в форме треугольника.

Хорошо, теперь, когда мы знаем, что такое периметр и площадь, давайте разберемся, как найти периметр . Нам не нужны причудливые формулы или что-то в этом роде. Все, что нам нужно сделать, это сложить вместе длину сторон. Итак, если мы знаем все стороны нашего двора, мы можем легко найти периметр:

\ (20м + 20м + 12м = 52м \) забора. Ничего особенного. Обратите внимание, что ответ дан в метрах. Потому что периметр — это расстояние. Прогуляться по двору — значит пройти 52 метра.

Вот и все, независимо от того, какой у вас треугольник. Просто сложите длину сторон, и у вас будет периметр.

А теперь займемся территорией. Существует настоящая формула для определения площади треугольника: \ (A = \ frac {1} {2} = bh \)

Давайте быстро объясним, откуда появился этот \ (\ frac {1} {2} \). из. Формула площади параллелограмма: \ (A = bh \). Если мы сравним две формы, мы увидим, что параллелограмм может быть образован двумя треугольниками одинакового размера:

Таким образом, мы можем сказать, что треугольник — это половина параллелограмма, откуда в формуле берется половина.

Для треугольников формула площади работает немного по-разному в зависимости от типа треугольника. Начнем с прямоугольных треугольников.

У нас есть формула, но нам нужно ответить на вопрос, какая сторона равна \ (b \), а какая — \ (h \)?

Для прямоугольного треугольника, подобного этому, \ (b \) и \ (h \) — две стороны, прилегающие к прямому углу или рядом с ним. Не имеет значения, что есть что, поэтому допустим, что \ (b = 6 \) см и \ (h = 8 \) см.

Теперь мы можем вставить их в нашу формулу:

\ (A = \ frac {1} {2} (6 \ text {cm}) (8 \ text {cm}) \)

Это всегда Хорошая идея заменить его круглыми скобками, чтобы упорядочить вещи.2 \).

Для задач с площадью ответ всегда будет в квадратных единицах. Это потому, что мы пытаемся определить, сколько квадратных сантиметров уместится в нашем треугольнике. Мы можем ясно видеть это, глядя на равнобедренный прямоугольный треугольник, длина ног которого составляет 5 единиц, на миллиметровой бумаге:

Сколько квадратов внутри треугольника? Мы можем их посчитать. Сначала мы посчитаем все квадраты, которые умещаются внутри, затем сложим полуквадраты:

Есть 10 полных квадратов плюс 5 полуквадратов, всего 12 \ (\ frac {1} {2} \) квадраты.

Если мы воспользуемся нашей формулой, то найдем то же самое:

\ (A = \ frac {1} {2} (5) (5) \)
\ (A = \ frac {1} {2 } (25) \)
\ (A = 12,5 \)

Теперь мы увидели, как работает формула, и лучше поняли, почему единицы возведены в квадрат. Нам осталось только найти область острых и тупых треугольников.

Начнем с острого треугольника :

Обратите внимание, что высота всегда перпендикулярна основанию. 2 \)

То же самое применимо к тупым треугольникам, за исключением того, что высота или высота часто появляются за пределами треугольника, например:

Мы видим, что высота треугольника 6 см, а сторона, перпендикулярная ему, является основанием, которое составляет 9 см.2 \).

Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Как найти площадь плоскости Рисунок

Как найти площадь плоскости Рисунок

Площадь части плоскости или формы может быть определена как количество материала, необходимого для ее покрытия.

Для определения площади многоугольника мы рассматриваем замкнутую область многоугольника. Давайте рассмотрим иллюстрацию, чтобы прояснить идею.

Доска объявлений в классе должна быть покрыта квадратными листами цветной бумаги.Чтобы знать, сколько листов цветной бумаги требуется для указанной цели, лучше всего положить доску на пол и накрыть ее листом цветной бумаги без каких-либо зазоров, как показано на рисунке.

Подсчитайте количество листов, использованных для этой цели. Предположим, что 21 лист используется для покрытия всей платы, тогда мы можем измерить область, ограниченную многоугольником. Это измерение называется площадью многоугольника.
∴ Площадь = 21 × Площадь 1 листа
Площадь поверхности, заключенная в плоскую фигуру, называется ее площадью.Он измеряется в квадратных единицах длины.

Чтобы найти площадь фигуры с помощью графика

Мы можем найти площадь правильных и неправильных фигур, используя график или квадрат. Чтобы найти площадь, сначала мы рисуем фигуру на миллиметровой бумаге, покрывая как можно больше квадратов.

Чтобы найти площадь с помощью бумаги в квадрате, мы должны выполнить следующие шаги:

Подсчитайте количество полных квадратов единичной длины, заключенных в цифру.
Подсчитайте количество тех квадратов, более половины которых заключены в фигуру.
Подсчитайте количество тех квадратов, точная половина которых заключена в фигуру, и разделите число на 2.
Оставьте те квадраты, менее половины которых заключены в фигуру.
Сумма шагов (i), (ii) и (iii) складывается, чтобы получить площадь фигуры.

∴ Площадь фигуры = Количество полных квадратов + Количество квадратов, у которых заключено более половины частей + 1/2 (Количество квадратов, у которых заключены половины части)

Учитывайте цифры, приведенные на рисунке.
(i) Площадь прямоугольника ABCD
= 8 × Площадь одного квадрата
= 8 × 1 см ² = 8 см ²
Таким образом, если длина и ширина прямоугольника равны 4 см и 2 см соответственно, тогда
Площадь = 8 см ²
= (4 × 2) кв. см
∴ Площадь = длина × ширина

(ii) Площадь ΔPQR = Количество полных квадратов + Количество квадратов, состоящих из более чем половины частей + 1/2 × Количество разделенных пополам квадратов
Количество полных квадратов, заключенных на рисунке = 2
Количество квадратов, у которых более заключены половинные части = 4
Пренебрегайте количеством квадратов, у которых заключена менее половины части.
Площадь ΔPQR = 2 + 4 + 1/2 × 0
= 6 квадратов
= 6 × 1 см ²
= 6 см ²
Таким образом, если основание и высота треугольника равны 4 см и 3 см соответственно, тогда
Площадь = 6 см ²
= 1/2 × 4 × 3
= 1/2 × основание × высота

(iii) Площадь квадрата WXYZ
= 9 × Площадь одного квадрата
= 9 × 1 см ²
= 9 см ²
Таким образом, если сторона квадрата равна 3 см, то
Площадь = 9 см ²
= (3 × 3) см ²
= сторона × сторона

(iv) Аналогично, площадь фигуры ABCDEFGH
= 7 × Площадь одного квадрата
= 7 × 1 см ²
= 7 см ²

Площадь плоских фигур Примеры задач с решениями

Пример 1: Найдите площадь квадрата со стороной 8 см.
Решение: Площадь квадрата
= сторона × сторона
= 8 см × 8 см
= 64 см ²

Пример 2: Найдите площадь прямоугольника, длина которого составляет 21 см, а ширина — 5 см.
Решение: Площадь прямоугольника
= длина × ширина
= 21 см × 5 см
= 105 см ²

Пример 3: Сторона квадратного участка земли 30 м. Найдите стоимость выравнивания участка, если ставка 2 рупии за квадратный метр.
Решение: Площадь квадрата
= сторона × сторона
= 30 м × 30 м
= 900 м ²
Стоимость выравнивания 1 м ²
= рупий. 2
Стоимость планировки 900 м ²
= Rs. (2 × 900)
= рупий. 1800

Пример 4: Найдите площадь данной фигуры.

Решение: Площадь прямоугольника DEFG = l × b
= 7 см × 3 см = 21 см ²
Площадь прямоугольника ABCG l × b
= 7 см × 3 см = 21 см ²
Площадь всей фигуры
= Площадь прямоугольника DEFG
= 21 см ² + 21 см ²
= 42 см ²

Пример 5: Сколько плиток, каждая размером 2 м на 1 м, необходимо для покрытия прямоугольного зала длиной 12 м и шириной 8 м? Найдите стоимость плитки в рупиях.