Как найти объем детали погруженной в жидкость: В цилиндрический сосуд налили

В цилиндрический сосуд налили

Друзья! В заданиях ЕГЭ по математике встречаются задачи, в которых речь идёт о погружении детали в жидкость или о переливании жидкости из одного сосуда в другой. Вопросы в условии связаны с нахождением объёма погружаемого в жидкость тела или с нахождением какого-либо параметра сосуда. Форма сосуда может быть различной: цилиндр, призма.

Что необходимо понимать? Если жидкость залита в цилиндрический сосуд, то она принимает форму цилиндра. Если она залита в имеющий форму призмы, то соответственно принимает форму призмы. Это означает, что формулы для объёмов цилиндра и призмы работают и для объёмов жидкостей помещённых в такие сосуды.

Формула объёма цилиндра (и призмы):

Если жидкость переливается в аналогичный сосуд с меньшим основанием, уровень (высота) жидкости увеличивается; если в сосуд с большим основанием, то уровень жидкости уменьшается.

Рекомендации!

В задачах на погружение детали в жидкость следует найти объём полученный после её погружения, далее найти разность объёмов до и после (если данные в условии это позволяют). Можно такие задачи решать и другим способом, используя закон Архимеда. Примеры рассмотрены ниже.

В задачах, где идёт речь о переливании жидкости в другой сосуд (с уменьшенной или увеличенной площадью основания) помните о том, что сам объём жидкости остаётся неизменным. Вы можете выразить его через площадь основания и высоту (S₁ и H₁) одного сосуда и площадь основания и высоту (S₂ и H₂) другого сосуда, далее полученные выражения приравнять.

При дальнейших преобразованиях получите отношение соответствующих величин – либо площадей оснований, их рёбер, либо высот. Пример такой задачи рассмотрен ниже в статье.

В цилиндрический сосуд налили 5000 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 40 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 15 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

Мы знаем, что объём цилиндра равна произведению площади основания на высоту:

В жидкость погружаем деталь. Её уровень поднимается. Для того, чтобы вычислить объём детали необходимо из полученного объёма (полученного после погружения детали) вычесть объём жидкости, который был изначально.

Высота это есть уровень жидкости.

Итак, из имеющихся данных можем найти площадь основания:

Основание цилиндра у нас величина неизменная, но изменилась высота жидкости (при погружении детали) на 15 сантиметров, то есть она стала  

40 +15 = 55 см.

Найдём полученный объём:

Теперь можем вычислить объём детали:  6875 – 5000 = 1875 см³

Можно решать подобные задачи более рациональным способом.

По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 15/40  исходного объема:

Ответ: 1875

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2500 см³ воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 24 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

Принцип решения тот же самый, что и в предыдущей задаче.

Мы знаем, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

В жидкость погружаем деталь. Её уровень поднимается. Для того, чтобы вычислить объём детали необходимо из полученного объёма (полученного после погружения детали) вычесть объём жидкости, который был изначально.

Из имеющихся данных можем найти площадь основания призмы:

Основание призмы  не изменилось, но изменилась высота жидкости (при погружении детали)  она стала 24см.

Найдём полученный объём:

Теперь можем вычислить объём детали:  3000 – 2500 = 500 см³

Второй способ:

По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 4/20  исходного объема:

Ответ: 500

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 250 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 5 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

В подобных задачах с переливаниями жидкости следует помнить, что объём её остаётся прежним (он не изменен – куда бы её не перелили).

Объем жидкости в данном случае это объём правильной  треугольной призмы  (в её основании лежит правильный треугольник). Он равен произведению  площади основания призмы на высоту:

Суть дальнейших действий сводится к тому, что мы можем выразить объёмы жидкостей в двух призмах: первой и второй (основание которой в 4 раза больше), а затем приравнять полученные выражения, в итоге после преобразований получим отношение двух высот.

Естественно, что высота жидкости уменьшится, если увеличить площадь основания.

Обозначим исходную высоту жидкости Н₁, полученную после переливания Н₂.

Найдём площадь основания призмы, обозначив его сторону как а. Площадь правильного треугольника равна:

Таким образом, объём залитой жидкости  в первую призму равен:

Площадь основания второй призмы равна:

Объём залитой жидкости  во вторую призму равен:

Найдём отношение высот:

Таким образом, при том же объёме жидкости её высота уменьшится в 25 раз и будет равна 10.

Или можно сказать так:

При увеличении стороны основания а в 5 раз уровень воды уменьшится в 25 раз.

Ответ: 10

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

В цилиндрический сосуд, в котором находится 14 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,1 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

Объём цилиндра равна произведению площади его основания на высоту:

Жидкость в сосуде имеет цилиндрическую объёмную форму.

Уровень жидкости поднялся в 1,1 раза – означает, что высота цилиндра увеличилась в 1,1 раза. Исходя из формулы объёма цилиндра понятно, что при увеличении высоты в 1,1 раза влечёт за собой увеличение объёма также в 1,1 раза (так как зависимость величин  прямопропорциона).

Это означает, что после погружения детали объём будет равен 14∙1,1 = 15,4 литра.

Таким образом, объём детали будет равен: 15,4 – 14 = 1.4 литра.

Ответ: 1,4

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

Если ход решения сразу не увидели, ставьте вопрос – что можно найти исходя из условия?

Например, если дан начальный объём и высота жидкости (в сосуде формы призмы или цилиндра), то мы можем найти площадь основания. Затем, зная площадь основания и высоту жидкости после погружения детали мы можем найти объём.

Далее вычислить разницу между объёмами не составит труда  (это относится к первым двум задачам). В последней задаче для решения требуется немного логики.

В задачах по стереометрии на ЕГЭ есть много таких, где требуется найти изменение объёма или площади поверхности (шара, призмы, куба, пирамиды, конуса), при изменении одного из линейных размеров, имеются задачи и обратные им.

В данной рубрике мы рассмотрим такие задачи, не пропустите!

На десерт видео,  отдохнём от математики.

Успехов вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Цилиндр — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете

• Как вода в кружке иллюстрирует сечение цилиндра?
• Как лист бумаги превратить в цилиндр?

Что общего у джентльмена 19 века, Вилли Вонка из «Чарли и шоколадная фабрика», Шерлока Холмса в экранизации «Безобразная невеста» и некоторых сценических костюмов? Цилиндр! О нем, вернее о фигуре цилиндра и поговорим в статье.

Понятие цилиндра

Сейчас мы говорим про мужской головной убор, который был популярен в 19 веке и стал достаточно узнаваем в массовой культуре. Оказывается, в математике также существует цилиндр. И они похожи по форме.

Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.  

Возможно, для уточнения некоторых терминов вам захочется заглянуть в статью «Тела вращения». 

Если посмотреть на форму шляпы, то она действительно будет похожа на геометрическую фигуру.  Встретить цилиндр можно и в наше время. Обычная кружка является цилиндром.

Прямая, вокруг которой мы крутили прямоугольник, чтобы получить цилиндр, — это ось цилиндра. 

Также, как у Земли есть ось вращения, она есть и у цилиндра. 

Наша кружка стоит на круглом дне. Это дно, как и самый верх кружки, будут называться основаниями цилиндра. 

Снова посмотрим на стенки кружки. В цилиндре эта поверхность будет называться цилиндрической поверхностью. Ее также могут называть боковой поверхностью цилиндра. 

Представим, что наша кружка раскрашена вертикальными линиями. Эти линии будут лежать на цилиндрической поверхности и перпендикулярны основаниям. У них есть название:

Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований.  

Все образующие, — а в цилиндре их очень-очень много, —лежат только на цилиндрической поверхности. Эта поверхность и состоит из множества образующих. 

Узнаем ширину кружки. Для этого нужно измерить радиус дна. Этот же радиус будет радиусом основания, а в цилиндре он называется радиусом цилиндра. 

Теперь найдем высоту кружки. Для этого нужно измерить расстояние от дна до самого верха кружки. 

В математике это будет расстоянием между плоскостями, а ищется оно как длина перпендикуляра, опущенного из одной плоскости на другую. Подробнее про это можно прочесть в статье «Расстояния между фигурами». 

Высота цилиндра — перпендикуляр, опущенный из плоскости одного основания на плоскость второго основания. 

Свойства цилиндра

Рассмотрим, какими свойствами обладает цилиндр. 

Свойство 1. Основания цилиндра равны и параллельны. 

Это всегда два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях.  

Свойство 2. Образующие цилиндра равны и параллельны. 

Поскольку все образующие перпендикулярны основаниям, то они параллельны между собой по свойству прямой и перпендикулярной ей плоскости. Подробнее про это свойство можно прочесть в статье «Углы в пространстве». 

А равны они потому, что являются перпендикуляром к основаниям, то есть равны высоте цилиндра.

Свойство 3. Сечение цилиндра, проходящее через ось цилиндра, является прямоугольником. Такое сечение в цилиндре будет называться осевым сечением цилиндра. 

Например, если разрезать тортик по диаметру, то место среза как раз будет прямоугольником. 

Подробности про сечения фигур можно найти в статье «Сечения». 

Свойство 4. Сечение цилиндра, проходящее параллельно оси цилиндра и перпендикулярно его основаниям, будет являться прямоугольником. 

Свойство 5. Сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, является кругом с радиусом, равным радиусу цилиндра. Такое сечение в цилиндре называется перпендикулярным сечением цилиндра. 

Как вода в кружке иллюстрирует сечение цилиндра? Если налить в кружку воду, то ее поверхность примет круглую форму. При этом совершенно без разницы, сколько воды наливать: поверхность останется кругом.  Поскольку поверхность воды параллельна дну кружки, то есть основаниям цилиндра, то она является перпендикулярным сечением цилиндра.  Этим опытом можно подтвердить свойство 5.

Заметим, что все вышеописанные свойства относятся к прямому цилиндру. 

Цилиндр также может быть наклонным. В этом случае ось цилиндра и его образующие не будут перпендикулярны основаниям. 

Если мы разрежем поверхность цилиндра по одной из его образующих и как бы “развернем” ее, у нас получится прямоугольник. 

Это также легко увидеть, если вспомнить художников с тубусами. Тубус имеет форму цилиндра, и свернутый прямоугольный лист принимает такую же форму.  

Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а вторая — длине окружности его основания. 

Как лист бумаги превратить в цилиндр? Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник, то любой лист бумаги можно превратить в цилиндр. Для этого достаточно скрутить его в трубочку. При этом чем тоньше будет трубочка, тем меньше будет радиус цилиндра.

Формулы цилиндра

А если это прямоугольник, то мы знаем, как найти его площадь. Нам нужно умножить его длину на высоту. Так мы получаем площадь боковой поверхности цилиндра. 

\(S_{бок.} = 2 \pi RH\)

В этой формуле 2R — длина окружности основания, где R — его радиус, а Н — образующая (или высота) цилиндра. Подробнее про площадь прямоугольника и длину окружности (а также про площадь круга) можно прочесть в статьях «Параллелограмм» и «Окружность и круг». 2H\)

В этой формуле R — радиус цилиндра, Н — высота. 

Часто формулу объема можно применить для решения жизненных задач. Например, чтобы найти объем детали, погруженной в воду. 

Пример 1. В цилиндрическом сосуде налито 1650 см³ жидкости. В этот сосуд опустили деталь. При этом уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в см³. 

Решение. 

Шаг 1. Выразим высоту жидкости в первый и второй раз. Пусть вначале уровень жидкости был равен х, значит после того, как в нее опустили деталь, он стал равен 1,2х. 

Шаг 2. Вспомним физику и заметим, что объем жидкости в сосуде после того, как в него опустили деталь, будет равен сумме объемов жидкости и детали: V = V_ж + V_д. 

Шаг 3. С помощью объема жидкости выразим площадь основания сосуда:

V_ж = S_осн.H
1650 = S_осн. x
\(S_{осн} = \frac{1650}{x}\)

Шаг 4. Подставим площадь основания в формулу объема жидкости после того, как в нее опустили деталь:

\(V = S_{осн.}H = \frac{1650}{x} * 1,2x = 1980\)

Шаг 5. Тогда объем детали будет равен:

V_д = V — V_ж
V_д = 1980 — 1650 =330 

Ответ: 330 см³

Фактчек

• Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр может быть прямым и наклонным. В наклонном цилиндре ось не перпендикулярна основаниям цилиндра. 
• Цилиндр состоит из двух оснований и цилиндрической поверхности (боковой поверхности цилиндра). Основания имеют форму кругов, равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Развертка боковой поверхности имеет форму прямоугольника. 
• Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований. В прямом цилиндре образующая равна высоте цилиндра. Образующие равны и параллельны друг другу, а также образуют боковую поверхность цилиндра. 
• Осевое сечение цилиндра проходит через его ось и является прямоугольником. Любое сечение, параллельное осевому, также будет являться прямоугольником. Перпендикулярное сечение проходит перпендикулярно оси цилиндра и параллельно его основаниям. Перпендикулярное сечение имеет форму круга. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что такое образующая цилиндра?

1. Ось вращения, с помощью которой получен цилиндр.
2. Диаметр оснований цилиндра.
3. Любой перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.
4. Отрезок, соединяющий точки окружности основания. 

Задание 2. 
Площадь боковой поверхности цилиндра равняется 44. Его радиус равен 8. Найдите высоту цилиндра. 

1. 2,75
2. 5,5
3. \(2,75 \pi\)
4. 2

Задание 3.  
Площадь основания цилиндра равна 16. Его высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 

1. 64
2. \(64 \pi\)
3. 32
4. \(32 \pi\)

Задание 4. 
Объем цилиндра равен 28, а его высота равняется 7. Найдите диаметр основания.

1. 4
2. 2
3. 16
4. 8

Ответы: 1. – 4 2. – 1 3. – 2  4. – 1

Определите уравнение объема частично погруженной в жидкость части тела для плавающего тела.

КУМАР ПРАКАШАН-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ — ВОПРОСНИК (РАЗДЕЛ -C)

4 видео

РЕКЛАМА

Ab Padhai каро бина адс ке

Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина kisi ad ke!

Обновлено: 27-06-2022

Текст Решение

Решение

Когда какое-либо тело плавает на поверхности жидкости, то вес тела равен весу вытесненной телом жидкости.
Vρg=V.ρlg (где V= объем тела)
V. = объем частично погруженной в жидкость части
= объем вытесненной жидкости
ρ= плотность тела
ρl= плотность жидкости
∴V.V=ρρ. =Объем погруженной части телаОбщий объем тела
=Плотность телаПлотность жидкости

Ответ

Пошаговое решение, разработанное экспертами, чтобы помочь вам решить сомнения и получить отличные оценки на экзаменах.

---

Видео по теме

Тело плавает в воде, его треть объема находится над поверхностью. То же тело плавает в жидкости, погруженное на треть объема. Плотность жидкости 9(-3) плавает в жидкости, погруженной в нее на треть своего объема. Какова плотность жидкости?

69128786

किसी पिंड द Вивра विस्थापित द्रव का आयतन कितन|

95017958

Тело P плавает в воде, половина его объема погружена в воду. Другое тело Q плавает в жидкости плотностью (3)/(4)-й плотности воды, погруженное на две трети объема. Отношение плотности P к плотности Q равно

327400895 9(3) . Жидкость находится в состоянии покоя. Определить, будет ли тело плавать или тонет в жидкости? Если он тонет, то узнайте ускорение.

327883068

Если тело продолжает плавать в жидкости, то какая часть его объема остается погруженной в жидкость?
Или, Докажите, что погруженная часть тела, плавающего в жидкости, прямо пропорциональна плотности тела.

376769250

Напишите единственное уравнение для объема частично погруженной части тела поплавка на поверхность жидкости.

639273465

Твердое тело плавает в жидкости при температуре 50°C, погруженное на 84% своего объема. Когда жидкость нагревается до 100°C, она всплывает при погружении на 88%. Определить коэффициент объемного расширения жидкости (в 10-3/∘C )

642778732

Тело плавает, частично погруженное в жидкость. Если тело и жидкость доставить на Луну, тело будет

642851227

Прямоугольный блок плавает в жидкости и половина его объема погружена в жидкость. Когда все тело разгонится вверх до ускорения g/3, объем блока в жидкости составит

642954402

Тело плавает в воде так, что его треть объема находится над поверхностью. То же тело плавает в жидкости, погруженное на треть объема. Плотность жидкости составляет

643182914

V0 आयतन व D0 घनत्व का पिंड, D घनत्व वाले द्रव में तै выполнительный पिंड के आयतन का वह भाग क्या होगा जो द्रव की सत।प की

643234853

Тело плавает в жидкости в частично погруженном состоянии. Между плотностью тела и плотностью жидкости—-какая из них выше? 9(-3) плавает в жидкости, погруженной в нее на треть своего объема. Какова плотность жидкости?

644357064

Тело P плавает в воде, половина его объема погружена. Другое тело Q плавает в жидкости плотностью 3/4 плотности воды, погруженной на две трети объема. Отношение плотности P к плотности Q равно

644938299

Text Solution

Калькулятор плавучести

Created by Bogna Szyk

Reviewed by Steven Wooding

Последнее обновление: 26 декабря 2022 г.

Содержание:

• Что такое выталкивающая сила?
• Уравнение выталкивающей силы
• Как рассчитать выталкивающую силу
• Часто задаваемые вопросы

Этот калькулятор выталкивающей силы представляет собой простой инструмент, который позволяет вам определить выталкивающую силу в мгновение ока. Все, что вам нужно сделать, это указать плотность жидкости и объем объекта, который остается под водой, и он будет использовать формулу плавучести для оценки силы, удерживающей объект на плаву.

Если вам интересно, как рассчитать выталкивающую силу вручную, не волнуйтесь — мы вам поможем!

Что такое выталкивающая сила?

Плавучесть, иначе называемая выталкивающей силой , представляет собой силу, действующую в направлении, противоположном силе гравитации, которая препятствует погружению плавучего объекта. Когда объект погружается в воду (или любую другую жидкость), его вес тянет его вниз. Плавучесть противостоит этому весу и имеет величину, прямо пропорциональную объему жидкости, которая в противном случае занимала бы пространство, занимаемое объектом, — другими словами, объему вытесненной жидкости.

Еще одна ситуация, в которой вы можете наблюдать явление плавучести, это когда объекты менее плотные, чем воздух, плавают над землей. Пожалуйста, взгляните на наш калькулятор гелиевых шаров для особого случая 🎈

Уравнение выталкивающей силы

Вы можете рассчитать выталкивающую силу по следующей формуле плавучести:

B = ρ × V × g

где:

• ρ – Плотность жидкости, в которую погружен объект, измеряется в кг/м³;
• V – Объем вытесненной жидкости, м³;
• г – Ускорение свободного падения в м/с²; и
• B – Выталкивающая сила.

Наш калькулятор плавучести имеет значение по умолчанию для ускорения свободного падения, равное 9,81 м/с². Если вы хотите изменить это значение, откройте расширенный режим калькулятора.

Как рассчитать выталкивающую силу

Если вы хотите найти выталкивающую силу с пошаговые расчеты вместо использования нашего калькулятора плавучести следуйте приведенным ниже инструкциям:

1. Определитесь с гравитационным ускорением

   в месте, где вы хотите измерить плавучесть. Если вы погружаете объект в жидкость на Земле, вам не нужно вносить никаких изменений в значения по умолчанию. Предположим, однако, что вы хотите провести эксперимент на Марсе. Тогда ускорение свободного падения будет равно 3,24 м/с².

2. Выберите жидкость , в которую вы хотите погрузить ваш объект. Допустим, это соленая вода плотностью 1020 кг/м³. Наш калькулятор плотности может пригодиться, если вам нужно узнать плотность жидкостей.

3. Поместите предмет в воду и измерьте объем вытесненной жидкости. Например, допустим, он равен 0,03 м³.

4. Введите все эти значения в уравнение выталкивающей силы :

   B = ρ × V × g = 1020 × 0,03 × 3,24 = 99.14 Н

5. Вы также можете рассчитать

   вес вытесненной жидкости . Чтобы найти этот результат, просто умножьте объем на плотность:
   .

   Вт = ρ × V = 1020 × 0,03 = 30,6 кг

Часто задаваемые вопросы

Что такое единица плавучести в системе СИ?

Единицей выталкивающей силы в системе СИ является Ньютон (Н) . Один ньютон — это сила, необходимая для ускорения из состояния покоя тела массой 1 кг на 1 метр в секунду.

Что вызывает плавучесть?

Давление жидкости увеличивается с ее глубиной. Это возрастающее давление жидкости вызывает направленную вверх силу для сброса давления, которую мы называем выталкивающей силой.

Какая плавучесть мне нужна, чтобы не утонуть?

Вам потребуется около 30-50 ньютонов выталкивающей силы, чтобы не утонуть. Вот почему спасательные жилеты обеспечивают плавучесть более 33 Н, которая увеличивается с увеличением веса человека.

Как измерить объем тела с помощью плавучести?

Чтобы оценить объемы своего тела дома:

1. Наполните ванну правильной формы до краев водой.
2. Зайди в ванну и полностью погрузись в воду . Боковые стороны должны переливаться.
3. Выйдите из ванны и измерьте объем воды, оставшийся внутри .
4. Изменение объема воды равно объему вашего тела .
5. Получайте удовольствие, убирая беспорядок!

Как оценить плавучесть 1-литровой бутылки с водой?

Мы оцениваем плавучесть, необходимую для объекта, используя формулу B = ρ × V × g , где ρ и V — плотность и объем объекта соответственно, а g — ускорение свободного падения.