Как найти площадь в математике: Как найти площадь фигуры, формула

Формула площади прямоугольника (Слупко М.В.) | Математика | 5 класс

Введение

Представьте ситуацию. Мама хочет испечь торт. Но у неё осталось мало глазури, которой она его покроет сверху. На какой из этих трёх тортов уйдёт меньше всего глазури (Рис. 1)?

Рис. 1. Торты разной формы

Казалось бы, все просто: какая фигура меньше, на ту меньше глазури и понадобится. Но что такое «меньше»? Для отрезков было понятно: сравнивали длины. А что можно сравнивать у фигур? Для этого используют другую характеристику – площадь. Чем меньше будет площадь торта, тем меньше глазури понадобится маме.

А как определить площадь фигуры? Как сравнивать площади разных фигур? На этом уроке мы поговорим о том, как посчитать площадь прямоугольника.

Почему мы начинаем именно с него? Во-первых, прямоугольники в нашей жизни встречаются часто, поэтому возникает много практических задач, связанных с вычислением площади прямоугольника: сколько стекла надо, чтобы застеклить оконный проём, сколько лака надо, чтобы покрыть дверь, сколько бумаги надо, чтобы обернуть подарок и т. д. (Рис. 2).

Рис. 2. Примеры практических задач на вычисление площади прямоугольника

Во-вторых, прямоугольники легко укладывать плотно друг к другу (сравните: чем проще заполнить коробку – прямоугольными плитками или, например, круглыми, при условии, что пустого места должно оставаться как можно меньше) (Рис. 3).

Рис. 3. Заполненные прямоугольные коробки

Поэтому площадь любой фигуры можно посчитать достаточно точно, «разрезав» эту фигуру на прямоугольники (Рис. 4).

Рис. 4. Фигура разбита на прямоугольники

То есть если уметь находить площадь прямоугольников, то можно приближенно посчитать площади других фигур.

---

 

Аксиомы площади

На самом деле площадь прямоугольника важна не только для того, чтобы научиться считать площади других фигур. Она нужна, чтобы вообще дать определение: а что же такое площадь.

Интуитивно каждый из нас понимает, что такое площадь. Но сформулировать определение не так просто. Обычно говорят, что площадь – это место, которое фигура занимает на плоскости (чем больше площадь, тем больше места она занимает и наоборот).

Давайте попробуем строго определить, что же такое площадь фигуры, каким требованиям она должна удовлетворять, чтобы результат согласовывался с нашим жизненным опытом и здравым смыслом.

Итак, пусть у нас есть фигура (Рис. 1).

Рис. 1. Произвольная фигура

Чтобы найти её площадь, надо задать какой-то стандарт, то есть определить площадь известной фигуры. В математике такой фигурой считается единичный квадрат (квадрат со стороной ). Его площадь считается равной  (Рис. 2).

Рис. 2. Единичный квадрат

Теперь, если фигура состоит из двух квадратов, логично считать, что она занимает в  раза больше места, то есть её площадь равна сумме площадей двух квадратов, или равна  (Рис. 3).

Рис. 3. Фигура площадью 

Это свойство площади можно обобщить: если фигура состоит из двух фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур (Рис. 4). Действительно, эта фигура занимает столько же места, сколько те две фигуры вместе взятые.

Рис. 4. Фигура состоит из двух фигур

Наконец, совсем очевидно, что у одинаковых фигур (под одинаковыми мы имеем в виду те, которые можно совместить при наложении) площади должны быть равны, так как они занимают одинаковое место (Рис. 5).

Рис. 5. Одинаковые фигуры совместились при наложении

---

 

Этих свойств достаточно, чтобы научиться считать площадь любой известной нам фигуры.

Площадь прямоугольника

Площадь фигуры равна количеству единичных квадратов, которые укладываются внутрь фигуры.

Возьмем прямоугольник: высота  см, а длина  см. Заполним его квадратами со стороной  см. Площадь каждого такого квадрата . Всего поместилось  квадратов (Рис. 5).

Рис. 5. Площадь данного прямоугольника

Значит, по определению площади фигуры, площадь нашего прямоугольника равна .

Обязательно ли нужно выкладывать все единичные квадраты внутри прямоугольника, чтобы понять, сколько их поместится? Давайте посмотрим еще раз. Выложим внизу прямоугольника один ряд единичных квадратов. Длина прямоугольника  см, а длина стороны квадрата  см. Их поместится  штук (Рис. 6).

Рис. 6. Первый ряд

Выложим второй ряд. Он будет содержать тоже  квадратов (Рис. 7).

Рис. 7. Второй ряд

Сколько всего таких рядов? Так как высота прямоугольника  см, то поместится  ряда (Рис. 8).

Рис. 8.  ряда

Итак,  ряда по  штук в каждом. Всего  квадратов. То есть, чтобы понять, сколько квадратов поместится, не обязательно их рисовать.

А если бы мы считали ряды по-другому? Каждый вертикальный ряд содержит  квадрата, и всего помещается  таких рядов (Рис. 9): .

Рис. 9.  рядов

Рассмотрим прямоугольник побольше. Если бы мы стали рисовать единичные квадраты, то получилось бы  рядов по  штук в каждом (Рис. 10), или, наоборот,  столбиков по  в каждом.

Рис. 10.  рядов

Рис. 11.  рядов

Но этого делать необязательно. Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой, причем в любом порядке: .

Итак, мы получили основной вывод: площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних сторон:  (Рис. 12).

Рис. 12. Прямоугольник

Если длины сторон измерены в сантиметрах, то площадь по этой формуле получится в: . Если длины в метрах, то значение площади получатся в: .

Примеры

Пример 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами  м и  м (Рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру 

Решение

Ответ: .

Пример 2. Найти площадь прямоугольника со сторонами  мм и  мм.

Решение

Чтобы найти площадь, нам необязательно рисовать прямоугольник. Все нужные данные у нас есть: .

Ответ: .

Может оказаться, что стороны будут измерены в разных единицах.

Пример 3. Найти площадь прямоугольника со сторонами  м и  см (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3

В такой ситуации нужно выразить длины сторон в одних и тех же единицах измерения.

Переведем  м в сантиметры: . Так как теперь длины у нас в см, то площадь мы получим в : .

Ответ: .

Площадь квадрата

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом (Рис. 15).

Рис. 15. Квадрат

К нему тоже применима формула площади прямоугольника. Но так как стороны равны, то формулу можно записать короче: .

Пример: найти площадь квадрата со стороной  м  см.

Решение

Запишем длину стороны в одних единицах, в сантиметрах: .

Найдем площадь квадрата: .

Ответ: .

Другой тип задач

Встречаются задачи, где уже известна площадь прямоугольника и длина одной стороны. Требуется найти другую сторону. Разберем этот случай на конкретном примере.

Пример: поле имеет ширину  метров. Какова должна быть длина поля, что площадь поля получилась  га (Рис. 16)?

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Решение

Начнем с единиц, в которых нам дана площадь. Вспомним, что такое  га. Гектар – мера площади, используемая в сельском хозяйстве. Она равна площади квадратного участка земли со стороной  м. Вычислим эту площадь в : . То есть площадь в  и называют  га.

Теперь вернемся к условию задачи. Требуемая площадь поля  га. Переведем ее в : . Итак, нам известны ширина поля и его площадь. Не известна длина поля. Обозначим ее  (Рис. 17).

Рис. 17. Характеристики поля в 

Воспользуемся формулой площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: . Площадь и одну длину мы знаем. Подставим в формулу: .

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: .

Ответ:  м.

Заключение

Итак, подведем итоги.

• Если нам известны две стороны прямоугольника (длина и ширина), то площадь прямоугольника находится по формуле  (Рис. 18).

Рис. 18. Произвольный прямоугольник

• Если длины сторон даны в м, то площадь получится в , если в мм, то площадь в , если длины в км, то площадь в .
• Если длины сторон указаны в разных единицах измерения (например, в метрах и километрах), то, прежде чем применять формулу, нужно выразить длины в одних и тех же единицах измерения (например, только в метрах).
• Формулу площади квадрата можно записать короче: .
• Если известна площадь и одна сторона прямоугольника, то мы можем найти другую сторону. Для этого площадь нужно разделить на длину известной стороны: .

Нахождение площади прямоугольника – простая, но очень важная задача. В дальнейшем мы будем ее использовать, чтобы получить формулы площадей других фигур.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс. М.: Мнемозина, 2013.
2. Ерина Т.М. Математика 5 класс. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. М.: Экзамен, 2013.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика 5 класс. М.: Вентана-Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «school-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет портал «school-assistant.ru» (Источник)
3. Интернет портал «edufuture. biz» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Стороны прямоугольника равны  см и  см. Чему равна его площадь?
2. Сторона квадрата равна  метров. Чему равна его площадь?
3. Площадь прямоугольника равна . Чему равна ширина, если его длина равна  см?

Математика Площадь прямоугольника

Назовите фигуры, которые пришли вместе с Царицей Точкой?
Круг, квадрат, треугольник, прямоугольник.

Вспомните, как найти периметр прямоугольника.
Чтобы найти периметр четырёхугольника, нужно сложить длины всех сторон или сложить длину и ширину и умножить на 2. 

Найдите периметр прямоугольника, если его длина равна 6 см, а ширина 4 см
(6+4)·2
Периметр прямоугольника равен двадцати сантиметрам.

Кроме периметра у геометрической фигуры  можно найти площадь.
В каких единицах измеряется площадь фигур?
Площадь фигуры измеряется в квадратных сантиметрах.

Что такое квадратный сантиметр?
Квадрат со стороной 1 см принято называть квадратным сантиметром.

Периметр нашли, давайте найдём площадь прямоугольника.
Что значит найти площадь прямоугольника?
Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно фигуру разделить на квадратные сантиметры.
 Площадь прямоугольника равна двадцати четырём квадратным сантиметрам.

 

Этап усвоения новых знаний

 

Перед вами прямоугольник.
Длина прямоугольника 5 см. Значит, 
по длине в одном ряду укладывается 5 квадратов со стороной 1 см.
Площадь такого ряда 5 сантиметров квадратных.
Сколько таких рядов?

Таких рядов 2. Значит, ширина равна двум сантиметрам. По ширине укладывается 2 квадрата со стороной 1 см. Площадь такого ряда 2 сантиметра квадратных.

Чтобы узнать площадь данного прямоугольника, нужно
5 квадратов умножить на 2 квадрата получится 10 квадратов площадью 1 см²
Таким образом площадь прямоугольника будет равна 10 см²

Что такое 5 см?                  
Что такое 2 см?

5 см – это длина прямоугольника,
2 см – это ширина прямоугольника

Чтобы вычислить площадь прямоугольника нужно его длину умножить на ширину. Длина и ширина прямоугольника должны быть выражены в одинаковых единицах, площадь также будет выражена в соответствующих единицах.

Площадь будем записывать латинской буквой  S . Длину латинской a. Ширину — b.

Найдите  площадь прямоугольника?

Таким образом, площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

                
Вычислим площадь нашего прямоугольника.

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно длину 5 см умножить на ширину 2 см, получится 10 см квадратных – площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника 10 см²

 

Закрепление материала

 

Задание

Начертите два квадрата: один со стороной  2 см, другой со стороной 3 см                

Что мы знаем про квадрат?
У квадрата все стороны равны.

Найдите площадь квадратов.                
Проверьте себя.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Чтобы вычислить площадь квадрата, нужно его длину умножить на ширину. 

Сторона первого квадрата равна 2 см.
Длину 2 см умножим на ширину 2 см, получим 4 см квадратных – площадь первого квадрата.

Сторона второго квадрата равна 3 см.
Длину 3 см умножим на ширину 3 см, получим 9 см квадратных – площадь второго квадрата.

 

Самостоятельная работа

 

Задание

Начертите прямоугольник со сторонами 7 см и 3 см. Вычислите его периметр и площадь.                
Проверьте себя и оцените свои успехи.

Периметр прямоугольника – это сумма длин его сторон: 7+3+7+3=20 см. Или можно сложить длины сторон и умножить на 2: (7+3)·2=20 см

или каждую сторону умножить на 2 и произведения сложить: 7·2+3·2=20 см.

Площадь прямоугольника – произведение длины на ширину.
S=7·3=21 см²

 

Итог урока

 

Как вычислить площадь прямоугольника?
Какие латинские буквы используются при вычислении площади прямоугольника?

 

Рефлексия

 

Продолжите фразу:

сегодня я узнал               
было интересно              
было трудно                

Площадь прямоугольников: формулы, уравнения и примеры

Прямоугольник — это частный случай четырехугольника, представляющего собой четырехстороннюю плоскую фигуру. Все 4 внутренних угла прямоугольника прямые. Книга, футбольное поле, окно, дорожный чемодан — все это примеры прямоугольников.

Теперь предположим, что вы хотите вычислить общую площадь футбольного поля. Затем вам нужно знать, как вычислить площадь прямоугольника.

Прямоугольник – это четырехугольник, все внутренние углы которого прямые. Двумерное пространство, занимаемое прямоугольником, называется площадью прямоугольника.

Четырехугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон называется параллелограммом. Так как все углы прямоугольника прямые, то и противоположные пары сторон прямоугольника всегда параллельны. Это делает каждый прямоугольник параллелограммом. На самом деле прямоугольник считается особым типом параллелограмма.

Площадь прямоугольников: Формула

Рассмотрим следующий прямоугольник.

Иллюстрация прямоугольника, Нилабхро Датта – StudySmarter Originals

Площадь прямоугольника определяется по формуле:

Площадь = b × h

где b = длина основания, h = длина высоты

Теперь значение b равно длине стороны AB, который здесь считается базовым. Условно одну из длинных сторон прямоугольника принимают за основание, а одну из сторон, перпендикулярных основанию, считают высотой. В этом прямоугольнике высота равна длине AD.

В некоторых соглашениях основание и высота называются длиной и шириной прямоугольника.

Частный случай: Формула площади квадрата

Квадрат — это частный случай прямоугольника. Кроме того, что все 4 внутренних угла прямые, все 4 стороны квадрата равны.

Квадратная иллюстрация, Нилабхро Датта, StudySmarter Originals

Посмотрите на приведенный выше квадрат и вспомните формулу площади прямоугольника: Площадь = основание × высота.

Так как все 4 стороны квадрата равны, то основание и высота равны. Достаточно знать длину стороны квадрата, чтобы вычислить его площадь. Таким образом, в случае квадрата формулу можно сократить до:

Площадь=длинастороны×длинастороны=(длинастороны)2

Площадь прямоугольников: Квадратные единицы

Рассматривая площадь фигуры, помните, что площадь измеряется в квадратных единицах , таких как квадратные сантиметры (см ² ), квадратные футы (ft ² ), квадратные дюймы (в ² ) и т.  д. ниже. Подумайте, сколько квадратных единиц необходимо, чтобы точно и исчерпывающе покрыть всю поверхность замкнутой фигуры. Эта сумма и есть площадь фигуры.

Квадратные единицы, Jurgensen & Brown– Геометрия

Площадь прямоугольников: примеры задач

Прямоугольник площадью 60 м ² имеет основание длиной 20 м. Какова высота прямоугольника?

Решение

Площадь = B × H

⇒60 M ² = 20 м × H

⇒ H = 60 M ² ÷ 20 M

⇒ H = 3 м

Если вы зная длину 1 из сторон (основание или высоту) прямоугольника и длину диагонали, вы можете вычислить неизвестную длину стороны (высоту или основание), используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

На следующем рисунке показано, как диагональ прямоугольника делит его на 2 прямоугольных треугольника, что позволяет нам использовать теорему Пифагора. Затем, когда известны и основание, и высота прямоугольника, можно вычислить площадь.

Диагональ прямоугольника делит его на 2 прямоугольных треугольника, Nilabhro Datta — StudySmarter Originals

В следующем прямоугольнике ABCD AB = 9, BD = 15. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Поскольку внутренние углы прямоугольника прямые, BD — это гипотенуза прямоугольного треугольника, ΔABD.

Итак,

Согласно теореме Пифагора,

AD2+AB2=BD2⇒AD2+92=152⇒AD2=152-92⇒AD2=144⇒AD=12

Площадь прямоугольника = b × h

= 12 футов × 9 футов

= 108 футов ²

Длина стороны квадрата 10 футов. Какова площадь квадрата?

Решение

Площадь = сторона × сторона

= 10 футов × 10 футов

= 100 футов ²

Площадь прямоугольников. .

Площадь прямоугольника определяется по формуле:

Площадь = b × h

где b = основание, h = высота.

Квадрат — это частный случай прямоугольника. Кроме того, что все 4 внутренних угла прямые, все 4 стороны квадрата равны.

Площадь квадрата определяется по формуле: Площадь = сторона × сторона

Что такое площадь в математике?

Автор:

Малкольм МакКинси

11 января 2023 г.

Проверено

, круг или эллипс, занимает плоскость. Площадь фигуры всегда измеряется в квадратных единицах.

Как только вы узнаете, как квадратные единицы соотносятся с площадью, вы сможете найти площадь почти любой двумерной фигуры.

Как найти площадь фигуры

Плоские фигуры имеют два измерения:

1. Ширина

2. Длина

Квадрат, например, имеет ширину, равную его длине. одинаковый. Эллипс также имеет ширину и длину.

Мы можем легко увидеть, как квадрат можно разделить на маленькие квадратные единицы, как на координатной плоскости. Вы не можете легко увидеть, как эллипс может быть составлен из маленьких квадратов, но это возможно.

Поскольку он имеет ширину и длину, он покрывает пространство, и это пространство, даже с изогнутыми сторонами эллипса, может быть разделено на квадратные единицы:

Подсчет площади квадрата и прямоугольника

Подсчет квадратных единиц в квадрат легко: один, два, три и т. д. .

Но как посчитать все квадраты эллипса? Как определить, какая часть квадрата находится под верхней кривой? Как насчет кривых на левом и правом концах?

К счастью, у математиков есть быстрый способ сложить все квадратные единицы, не считая их. 9{2}mi2

Находите ли вы площадь четырехугольника, такого как трапеция и ромб, или любой другой замкнутой фигуры, площадь всегда будет возведена в квадрат.

Формула площади

Используемая вами формула площади зависит от того, для какой фигуры вы пытаетесь найти площадь.

Площадь квадратов и прямоугольников

Чтобы найти площадь простых фигур, таких как квадрат или площадь прямоугольника, вам нужна только его ширина w и длина l  (или база,  b ). Площадь равна длине, умноженной на ширину:

Площадь всегда возводится в квадрат. Вы всегда будете выражать площадь в квадратных единицах, полученных из линейных единиц.

Вот прямоугольник 90 метров в ширину и 120 метров в длину (самый большой размер футбольного поля ФИФА). Чему равна площадь этого прямоугольника?

Площадь прямоугольника пример

Поскольку футбольное поле измеряется в погонных метрах, его площадь равна квадратным метрам. Площадь прямоугольника  10 800 метров   в квадрате .

Формула площади квадрата на самом деле даже проще, чем запись длина × ширина , потому что все стороны равны:

Вот квадрат со сторонами 15 дюймов в длину, такой же размер, как основания на бейсбольном мяче MLB поле. Вычисление площади для этого квадрата выглядит следующим образом:

Пример площади квадрата

Площадь других фигур

Все остальные многоугольники нелегко разделить на квадратные единицы. Взгляните на параллелограмм.

Две стороны пересекают многие квадратные единицы. Конечно, параллелограмм — это просто опрокинутый прямоугольник.

Итак, математически, если бы мы могли отрезать один конец и присоединить его к другому, мы бы получили площадь в квадратных единицах. Мы можем сделать именно это, поскольку площадь параллелограмма с основанием b и шириной или высотой h находится по следующей формуле:

Это та же формула, что и для квадрата. или прямоугольник!

Если разделить параллелограмм по диагонали, что получится? Два треугольника. Это означает, что площадь любого треугольника равна половине площади параллелограмма с такой же длиной основания и высотой. Помните, что параллелограмм использует ту же формулу, что и прямоугольник.

Нахождение площади параллелограмма

Площадь треугольника  равна половине основания, b , умноженной на высоту, h :

Вот парус из прямоугольного треугольника 45-футовый парусник Morgan с базой 201420\frac{1}{4}2041​ футов и высотой 441244\frac{1}{2}4421​ футов.