Как вычесть площадь треугольника: Как найти площадь треугольника — Лайфхакер

Содержание

Как найти площадь треугольника - Лайфхакер

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Сейчас читают 🔥

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  1. Умножьте основание на высоту треугольника.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

Как найти площадь треугольника? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Формулы

Первый способ.

Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1). То есть если известны длины двух сторон треугольника $ABC$, которые равны $a$ и $b$, а также угол $\alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \alpha$$

Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2), и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника $ABC$ равна $a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне - $h_{a}$, то имеет место формула:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a h_{a}$$

Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины всех его трех сторон $a$, $b$ и $c$, нужно воспользоваться формулой Герона:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где $p=\frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.

Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, нужно радиус $r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр $p$ треугольника:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=r p$$

Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса $R$, описанной около треугольника окружности:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{a b c}{4 R}$$

Примеры вычисления площади треугольника

Пример

Задание. Найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен $30^{\circ}$.{2}\right) \end{aligned}$

Ответ. $\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{15}{4}$ (см2)

Все формулы площади Калькулятор площади треугольника

Слишком сложно?

Как найти площадь треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см2 ?

Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a h_{a}$$

то отсюда получаем, что искомая высота

$h_{a}=\frac{2 \mathrm{S}_{\Delta A B C}}{a}=\frac{2 \cdot 6}{2}=6$ (см)

Ответ. $h_{a}=6$ (см)

Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника. Площадь треугольника формулы. 6 формул площади треугольника.

В этой статье  собраны наиболее популярные формулы для нахождения площади треугольника.
Если известно основание и высота, проведенная к основанию треугольника, можно  вычислить площадь треугольника.

 

\(S=\frac{1}{2}a*h\)


Формула Герона помогает вычислить площадь треугольника по трем сторонам треугольника:

 

\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

 

где \(a,b,c\) – стороны треугольника,  \(p=\frac{a+b+c}{2}\)  – его полупериметр.

Площадь треугольника можно вычислить, если известно три стороны и описанная окружность:

\(S=\frac{a*b*c}{4R}\)

Площадь треугольника, когда мы знаем полупериметр и радиус вписанной окружности:

 

\(S=pr\)

 

где r - радиус вписанной окружности,   \(p=\frac{a+b+c}{2}\)– его полупериметр.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Любите ли Вы математику так, как люблю ее я? Я поделюсь с Вами этим чувством, ведь математическая дисциплина не только интересна и полезна, от нее можно получить истинное удовольствие. Математика ценит настойчивость и терпение, за которые щедро вознаграждает. Благодаря точным наукам можно почувствовать себя настоящим волшебником, великим ученым и смелым первооткрывателем! Дифференцированное обучение, помноженное на доброжелательность и ответственность, помогут возвести в положительную степень уверенность ученика в своих силах и в способностях к математике. Присоединяйтесь! Вместе мы - сила!

Оставить заявку

Репетитор по математике

БГУ , Институт Позитивных Технологий и Консалтинга

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 класса. Активно использую в своей работе не только знания математики., но и навыки консультанта-психолога, объединяя их для достижения желаемого результата. Искренне считаю, что без позитивного контакта с учеником, на возможен полноценный процесс обучения! Математику люблю, как предмет! Уважаю, как науку! И с удовольствием этим делюсь на своих занятиях.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Московский государственный открытый университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов. Я люблю математику за точность и порядок, за живость ума. Мне очень нравится работать с детьми и видеть результат работы и ними. Математика является фундаментом для всех наук. И независимо на каком языке разговаривают люди, они все подчиняются одинаковым и неизменным законам правилам математики. Мы с Вами можем окунуться в удивительный мир цифр, задач и формул, по которому будем путешествовать на волшебном пути знаний. Будем учиться совершенствоваться, поступательно двигаться вперед к намеченной цели. И обязательно ее достигнем! Я, в свою очередь, хочу передать все свои знания и умения, чтобы соприкасаться с Вами в этом замечательном пути. Дети - наше будущее и мы должны приложить все усилия для их развития и становления.

Курсы ЕГЭ

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Логарифмы (урок)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

Площадь треугольника

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров. Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности. Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

Примечание. Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы: 

  

Формулы площади треугольника

   

Пояснения к формулам:
a, b, c - длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r - радиус вписанной в треугольник окружности
R - радиус описанной вокруг треугольника окружности
h - высота треугольника, опущенная на сторону
p - полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α - угол, противолежащий стороне a треугольника
β - угол, противолежащий стороне b треугольника
γ - угол, противолежащий стороне c треугольника
hahb

, h- высота треугольника, опущенная на сторону a, b, c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

  • Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на  два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
  • Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2 ) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
  • Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
  • Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
  • Формула Герона (6) - это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
  • Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
  • Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
  • Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
  • Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Примечание. Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет - пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа "квадратный корень" может применяться функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60   

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два. 
S = 15 √3 / 2

Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 32

S = 9 √3 / 4

Ответ: 9 √3 / 4. 

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение.

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) 
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S2 = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c) )
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S2 = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) - на третьей строке рисунка
S2 = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) - четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня    
S2 = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
S2 = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

S2 / S = 16
(см. внизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения - в последней строке)

На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена уже в виде формул (одна за другой)

Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз

 Сумма углов треугольника | Описание курса | Медиана треугольника 

   

Как найти площадь треугольника: прямоугольного, равнобедренного и тд

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон, образованных путем соединения трех точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

Общие формулы расчета площади треугольника

По основанию и высоте

Площадь (S) треугольника равняется половине произведения его основания и высоты, проведенной к нему.

Формула Герона

Для нахождения площади (S) треугольника необходимо знать длины всех его сторон. Считается она следующим образом:

p – полупериметр треугольника:

Через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника (S) равняется половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь (S) фигуры равняется половине произведения его катетов.

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь (S) рассчитывается по следующей формуле:

Площадь равностороннего треугольника

Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), необходимо воспользоваться одной из формул ниже:

Через длину стороны

Через высоту

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а высота, проведенная к ней – 5 см.

Решение:
Используем формулу, в которой участвуют длина стороны и высота:
S = 1/2 ⋅ 7 см ⋅ 5 см = 17,5 см2.

Задание 2
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.

Решение 1:
Воспользуемся формулой Герона:
Полупериметр (p) = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см.

Следовательно, S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = 6 см2.

Решение 2:
Т.к. треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, его площадь можно посчитать по соответствующей формуле:
S = 1/2 ⋅ 3 см ⋅ 4 см = 6 см2.

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

- Вычисления   (показано)   (скрыто)

- примечания   (показано)   (скрыто)

Для всех треугольников



1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a

Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.


2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.


3

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности


4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности


5

Площадь треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c


6

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a

Угол β°

Угол α°


Для равнобедренных треугольников


7

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)

Сторона c


8

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами


9

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной


10

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами


Для равносторонних треугольников


11

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h



12

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a (a = b = c)


13

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h


14

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности


15

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности


Для прямоугольных треугольников


16

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b


17

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона c

Угол α


18

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона b

Угол α


19

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d

Отрезок e


20

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с

Радиус r


21

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c


Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.


В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.


Таблица с формулами площади треугольника




Определения

Площадь треугольника - это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.


Скачать формулы площади треугольника в виде картинки


Найти площадь треугольника онлайн | Все формулы

Калькулятор позволяет онлайн найти площадь треугольника разностороннего , треугольника прямоугольного , треугольника равнобедренного , треугольника равностороннего различными способами и выводит формулы с подробным решением.

  • 1. Разносторонний треугольник:
  • 1.1. по основанию и высоте: площадь треугольника равна произведению половины основания на его высоту;
  • 1.2. по двум сторонам и углу между ними: площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними;
  • 1.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника и каждой из его сторон;
  • 1.4. по радиусу вписанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности;
  • 1.5. по радиусу описанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна одной четвертой отношения произведения сторон на радиус описанной окружности.
  • 2. Прямоугольный треугольник:
  • 2.1. по основанию и высоте: площадь прямоугольно треугольника равна половине произведения катетов треугольника;
  • 2.2. по отрезкам на которые делит гипотенузу вписанная окружность: площадь прямоугольно треугольника равна произведению произведению отрезков на которые делит гипотенузу вписанная окружность;
  • 2.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь прямоугольно треугольника равна произведению разностей полупериметра треугольника и каждой его катетов.
  • 3. Равнобедренный треугольник:
  • 3.1. по боковым сторонам и углу между ними: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата боковой стороны на синус угла между боковыми сторонами;
  • 3.2. по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения боковой стороны и основания на синус угла между ними;
  • 3.3. по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна четверти отношения квадрата основания на тангенс половинного угла между боковыми сторонами.
  • 4. Равносторонний треугольник:
  • 4.1. по стороне: площадь равностороннего треугольника равна произведению одной четвертой корня из трех на квадрат стороны;
  • 4.2. по радиусу описанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех четвертей корня из трех на квадрат радиуса описанной окружности;
  • 4.3. по радиусу вписанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех корней из трех на квадрат радиуса вписанной окружности.
  • 4.4. по высоте: площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата высоты к корню из трех.

Площадь треугольника по основанию и высоте

нахождение площади треугольника по основанию и высоте

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

нахождение площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника по формуле Герона

полупериметр нахождение полупериметра треугольника

нахождение площади треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

полупериметр нахождение полупериметра треугольника
нахождение площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

нахождение площади треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

нахождение площади прямоугольного треугольника по двум катетам

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам на которые делит гипотенузу вписанная окружность

нахождение площади прямоугольного треугольника по отрезкам. на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

полупериметр нахождение полупериметра треугольника

нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле Герона

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

нахождение площади равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

нахождение площади равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

нахождение площади равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

Площадь равностороннего треугольника по стороне

нахождение площади равностороннего треугольника по стороне

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

нахождение площади равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

нахождение площади равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по высоте

нахождение площади равностороннего треугольника по высоте

Помощь на развитие проекта premierdevelopment.ru

Send mail и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Для справки:

треугольник
— геометрическая фигура, образованная соединением отрезков трех точек, не лежащих на одной прямой. При этом точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.
площадь геометрической фигуры
— численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

II. Примечание:

  1. Блок исходных данных выделен желтым цветом, блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом, блок решения выделен зеленым цветом.

Площадь треугольника с использованием прямоугольного метода (Координатная геометрия)

Площадь треугольника с использованием прямоугольного метода (Координатная геометрия) - Math Open Reference Площадь треугольника можно найти, вычтя площадь более простых форм из его ограничивающей рамки.

Попробуй это Перетащите любую точку A, B, C. Площадь треугольника ABC постоянно пересчитывается с использованием прямоугольного метода. Вы также можете перетащить исходную точку на (0,0).

Этот метод работает, сначала рисуя ограничивающая рамка треугольника.Это наименьший прямоугольник, который может содержать треугольник. Это должно быть вертикальный а также горизонтальные стороны. Это оставляет легкие формы (прямоугольные треугольники и прямоугольники) вокруг него, площадь которого легко вычислить. Затем эти области вычитаются из площади ограничивающей рамки, чтобы получить желаемый результат.

На рисунке выше (при необходимости нажмите «сбросить») мы пытаемся найти площадь желтого треугольника ABC. Ограничивающая рамка треугольника - это большой серый прямоугольник, окружающий треугольник.Вы видите, что есть три прямоугольные треугольники вокруг желтого. Вычитая их площади из области ограничивающего прямоугольника, мы остаемся с площадью желтого треугольника. Эти серые треугольники легко вычислить, потому что они ортогональны - у них есть две стороны, вертикальные или горизонтальные. и поэтому их район можно найти обычным метод «половина базовой временной высоты».

Когда одна вершина находится внутри коробки

На рисунке выше нажмите «Сброс», а затем перетащите точку A влево, пока она не окажется внутри поля.У вас должна получиться форма, подобная приведенной выше.

Теперь у нас есть лишний прямоугольник в углу. Мы просто вычитаем площадь этого прямоугольника вместе с тремя треугольниками из ограничивающей рамки обычным способом.

Шаг за шагом

  1. Нарисуйте ограничивающую рамку. Это наименьший ортогональный прямоугольник, охватывающий треугольник. (Ортогональный прямоугольник - это прямоугольник, все четыре стороны которого либо вертикальны, либо горизонтальны.) Вычислите площадь этого прямоугольника.
  2. Вычислите площадь трех прямоугольные треугольники образуется между треугольником и прямоугольником (показано серым цветом выше). Это легко, поскольку все они ортогональны (одна сторона вертикальна или горизонтальна). Простой Используется метод «половина базовой временной высоты».
  3. Если одна из вершин находится внутри коробки, вычислите область маленького прямоугольника, образующегося в углу.
  4. Вычтите площадь трех треугольников и, возможно, дополнительного прямоугольника из площади ограничивающей рамки, таким образом давая площадь треугольника.

Пример

На схеме выше нажмите «Сброс».
  1. Нарисуйте ограничивающую рамку - прямоугольник с вертикальной и горизонтальной сторонами. В данном конкретном случае:
    • Левая часть определяется координатой x точки B (10)
    • Правая часть определяется координатой x точки A (55)
    • Верхняя сторона определяется координатой y точки B (35)
    • Нижняя сторона определяется координатой y точки C (5)
    Площадь этого прямоугольника равна его ширине, умноженной на высоту: 45 × 30 = 1350 квадратных единиц.
  2. Вычислите площадь трех серых прямоугольных треугольников, используя «половину базы, умноженную на высоту». Взяв верхний треугольник, мы выбираем горизонтальную линию из B в качестве основы. Вычитая его координаты X, получаем базовую длину 45. Его высота - это расстояние по вертикали от точки A до угла, поэтому вычитание ее координат y дает 10. Таким образом, ее площадь равна половина 45 × 10 = 225. Используя аналогичные методы, мы находим площади всех трех треугольников, которые составляют 225, 100 и 525 квадратных единиц.
  3. Вычитая площадь этих трех треугольников из площади ограничивающего прямоугольника, получаем
    1350-225-525-100 = 500 квадратных единиц, искомая площадь треугольника ABC.
Если одна вершина находилась внутри прямоугольника, мы также должны вычесть из поля площадь полученного дополнительного прямоугольника.

По формуле

Также можно рассчитать площадь по формуле. См. Площадь треугольника, метод формул.

Прочие формы

Метод коробки также работает с неправильными четырехугольниками. Общий подход также работает с любым многоугольником, хотя иногда вам нужно проявить немного творчества, чтобы найти набор простых ортогональных форм, чтобы окружить его.

Что попробовать

  1. На схеме вверху страницы перетащите точки A, B или C и обратите внимание на то, как вычисляется площадь. использует области простых окружающих форм. Попробуйте точки с отрицательными значениями x и y. Вы можете перетащить исходную точку для перемещения осей.
  2. Нажмите «скрыть детали». Перетащите треугольник к какой-нибудь новой случайной форме. Рассчитайте его площадь с помощью прямоугольного метода и нажмите «показать подробности», чтобы проверить результат.
  3. После вышесказанного оцените площадь, посчитав квадраты сетки внутри треугольника.(Каждый квадрат 5 на 5, поэтому имеет площадь 25).
После того, как вы сделаете вышеуказанное, вы можете нажать на «печать», и он распечатает диаграмму точно так, как вы ее установили.

Ограничения

Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака. Это может привести к небольшому отклонению расчетов.

Подробнее см. Учебные заметки

Прочие разделы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Площадь заштрихованной области

Область заштрихованной области чаще всего встречается в типичных геометрических вопросах. Такие вопросы всегда имеют как минимум две формы, для которых вам нужно найти область и найти затененную область, вычтя меньшую область из большей области.

Или мы можем сказать, что , чтобы найти площадь заштрихованной области, вы должны вычесть площадь незатененной области из общей площади всего многоугольника .Это зависит от типа приведенной фигуры.

В этой статье вы узнаете о:

  • Какова площадь заштрихованной области
  • Как найти площадь заштрихованной области, состоящей из многоугольников

Что такое площадь заштрихованной области ?

Площадь заштрихованной области - это разница между площадью всего многоугольника и площадью незатененной части внутри многоугольника.

Область заштрихованной части может встречаться в многоугольниках двумя способами.Заштрихованная область может располагаться в центре многоугольника или по бокам многоугольника.

Как найти площадь заштрихованной области?

Как указывалось ранее, площадь заштрихованной области вычисляется путем взятия разницы между площадью всего многоугольника и площадью незатененной области.

Площадь заштрихованной области = площадь внешней формы - площадь незатененной внутренней формы

Давайте разберемся в этом на примерах:

Как найти площадь заштрихованной области в треугольнике?

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять, как найти площадь заштрихованной области в треугольнике.

Пример 1

Вычислите площадь заштрихованной области в правом треугольнике ниже.

Решение

Площадь заштрихованной области = площадь внешней формы - площадь незатененной внутренней формы

Площадь треугольника = ½ bh.

Площадь внешней формы = (½ x 15 x 10) см 2 .

= 75 см 2 .

Площадь незатененной внутренней формы = (½ x 12 x 5) см 2 .

= 30 см 2 .

Площадь заштрихованной области = (75-30) см 2 .

= 45 см 2 .

Следовательно, площадь заштрихованной области составляет 45 см 2 .

Пример 2

Учитывая, что AB = 6 м, BD = 8 м и EC = 3 м, вычислите площадь заштрихованной области на диаграмме ниже.

Решение

Учитывая аналогичные треугольники,

AB / EC = BD / CD

6/3 = 8/ CD

Перекрестное умножение.

6 CD = 3 x 8 = 24

Разделите обе стороны на 6.

CD = 4 м.

Теперь вычислите площадь треугольника ABD и треугольника ECD

Площадь треугольника ABD = (½ x 6 x 8) м 2

= 24 м 2

Площадь треугольника = (½ x 3 x 4) м 2

= 6 м 2

Площадь заштрихованной области = (24-6) м 2

= 18 м 2

Как найти площадь заштрихованной области в прямоугольнике?

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять, как найти площадь затененной области в прямоугольнике.

Пример 3

Рассчитайте площадь заштрихованной области прямоугольника ниже, если

Решение

Площадь заштрихованной области = площадь внешней формы - площадь незатененной внутренней формы

= ( 10 x 20) м 2 - (18 x 8) м 2

= 200 м 2 - 144 м 2 .

= 56 м 2

Пример 4

Дано, AB = 120 см, AF = CD = 40 см и ED = 20 см.Вычислите площадь заштрихованной области на диаграмме ниже.

Решение

Площадь заштрихованной области = площадь прямоугольника ACDF - площадь треугольника BFE.

Площадь прямоугольника ACDF = (120 x 40) см 2

= 4800 см 2 .

Площадь треугольника BFE = ½ x CD x FE

Но FE = (120-20) см

= 100 см

Площадь = (½ x 40 x 20) см 2 .

= 400 см 2 .

Площадь заштрихованной области = 4800 см 2 - 400 см 2

= 4400 см 2

Пример 5

Рассчитайте площадь затененной диаграммы ниже.

Решение

Это составная форма; поэтому мы подразделяем диаграмму на фигуры с формулами площади.

Площадь заштрихованной области = площадь части A + площадь части B

= 6 (13-4) см 2 - (24 x 4) см 2

= 54 см 2 + 96 см 2

= 150 см 2 .

Итак, площадь заштрихованной области составляет 150 см 2

Как найти площадь заштрихованной области в квадрате?

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять, как найти площадь заштрихованной области в квадрате.

Пример 6

Рассчитайте площадь заштрихованной области на диаграмме ниже.

Решение

Площадь заштрихованной области = площадь квадрата - площадь четырех незатененных маленьких квадратов.

Длина стороны квадрата = (4 + 4 + 4) см

= 12 см.

Длина сторон четырех незатененных квадратов составляет 4 см каждый.

Площадь заштрихованной области = (12 x 12) см 2 - 4 (4 x 4) см 2

= 144 см 2 - 64 см 2

= 80 см 2

Пример 7

Вычислите заштрихованную площадь квадрата ниже, если длина стороны шестиугольника равна 6 см.

Решение

Площадь заштрихованной области = площадь квадрата - площадь шестиугольника

Площадь квадрата = (15 x 15) см 2

= 225 см 2

Площадь шестигранника

A = (L 2 n) / [4tan (180 / n)]

A = (6 2 6) / [4tan (180/6)]

= (36 * 6) / [4tan (180/6)]

= 216 / [4tan (180/6)]

= 216 / 2.3094

A = 93,53 см 2

Площадь заштрихованной области = (225 - 93.53) см 2 .

= 131,47 см 2

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Как найти площадь треугольника: урок для детей - видео и стенограмма урока

Определение площади треугольника

Давайте попробуем. Практика ведет к совершенству, не так ли? Допустим, вы измеряете, сколько ткани потребуется для изготовления треугольного паруса для парусной лодки. Основание треугольника - 6 футов, а высота - 3 фута.Можете ли вы вычислить, сколько квадратных футов ткани потребуется?

Хотя формула начинается с ½, это не означает, что мы должны начинать с этого числа. При умножении мы можем умножать числа в любом порядке и при этом получать тот же ответ. Итак, сначала умножим 6 x 3 = 18. Затем мы умножим это число (18) на 1/2.

Но вот в чем дело: умножение любого числа на ½ означает, что вы делите это число на 2! Это полезно знать, если вы еще не практиковали умножение на дроби.Разделим наше первое число (18) на 2 (18 ÷ 2 = 9). Для этого паруса нам понадобится 9 квадратных футов ткани.

Табличный пример области треугольника

Давайте попробуем еще один! Вы решили, что хотите построить стол. Но не просто стол, а стол в форме треугольника. Вы готовы приступить к работе, но сначала вам нужно знать, сколько краски вам понадобится. Вам нужно измерить площадь треугольной поверхности. Если ваш треугольник имеет основание 4 фута и высоту 3 фута, какова будет площадь поверхности треугольника?

Вы получили 6 квадратных футов? Если да, то отличная работа! Чтобы найти эту область, нам нужно использовать нашу формулу: A = ½ bh .Если наша база равна 4, а наша высота 3, мы умножаем их (4 x 3 = 12). Затем мы умножаем это число на 1/2. Помните, это на самом деле означает, что мы делим на 2. Итак, 12 ÷ 2 = 6. Нам нужно 6 квадратных футов краски.

Резюме урока

Давайте рассмотрим, что мы узнали. Периметр - это расстояние по краям фигуры, а площадь - это измерение между границами поверхности фигуры.

Более важной для нашего урока является формула для определения площади треугольника, которая составляет A = ½ bh .Это означает, что мы умножаем ½ основания на высоту, чтобы получить площадь треугольника. Теперь, когда у вас есть рулетка, вы сможете измерить следующий треугольный стол или паруса, с которыми столкнетесь.

Практические вопросы

1. Запишите формулу площади треугольника, используя основание как b единиц длины и высоту как h единиц длины.

2. Равна ли площадь треугольника сумме мер длин трех сторон треугольника? Почему или почему нет.2.

2. Сумма длин трех сторон треугольника называется периметром или окружностью треугольника. 2.

Расчетная область | SkillsYouNeed

Площадь - это мера того, сколько места внутри фигуры. Расчет площади формы или поверхности может быть полезен в повседневной жизни - например, вам может потребоваться знать, сколько краски нужно купить, чтобы покрыть стену, или сколько семян травы вам нужно, чтобы засеять лужайку.

На этой странице описаны основные сведения, которые вам необходимо знать, чтобы понять и вычислить площади общих форм, включая квадраты и прямоугольники, треугольники и круги.

Расчет площади методом сетки

Когда фигура рисуется на масштабированной сетке, вы можете найти площадь, подсчитав количество квадратов сетки внутри фигуры.

В этом примере внутри прямоугольника 10 квадратов сетки.


Чтобы найти значение площади с использованием метода сетки, нам нужно знать размер, который представляет квадрат сетки.

В этом примере используются сантиметры, но тот же метод применяется к любой единице длины или расстояния.Например, вы можете использовать дюймы, метры, мили, футы и т. Д.

В этом примере каждый квадрат сетки имеет ширину 1 см и высоту 1 см. Другими словами, каждый квадрат сетки равен одному квадратному сантиметру.

Подсчитайте квадраты сетки внутри большого квадрата, чтобы найти его площадь.

Есть 16 маленьких квадратов, поэтому площадь большого квадрата составляет 16 квадратных сантиметров.

В математике мы сокращаем «квадратные сантиметры» до см 2 . 2 означает «в квадрате».

Каждый квадрат сетки равен 1 см 2 .

Площадь большого квадрата 16см 2 .


Подсчет квадратов на сетке для определения площади работает для всех форм - если известны размеры сетки. Однако этот метод становится более сложным, когда формы не точно соответствуют сетке или когда вам нужно подсчитать доли квадратов сетки.

В этом примере квадрат не точно помещается на сетке.

Мы все еще можем вычислить площадь, считая квадраты сетки.

  • Имеется 25 квадратов полной сетки (заштрихованы синим цветом).
  • 10 квадратов полусетки (заштрихованы желтым цветом) - 10 полуквадратов равны 5 полным квадратам.
  • Также есть 1 четверть квадрата (заштрихована зеленым) - (или 0,25 целого квадрата).
  • Сложите целые квадраты и дроби вместе: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

Следовательно, площадь этого квадрата составляет 30,25 см 2 .

Вы также можете записать это как 30¼см 2 .


Хотя использование сетки и подсчет квадратов внутри фигуры - очень простой способ изучения концепции площади, он менее полезен для нахождения точных областей с более сложными формами, когда можно сложить много частей квадратов сетки.

Площадь можно рассчитать с помощью простых формул, в зависимости от типа фигуры, с которой вы работаете.

Остальная часть этой страницы объясняет и дает примеры того, как вычислить площадь фигуры без использования системы сеток.


Площади простых четырехугольников:


квадратов, прямоугольников и параллелограммов

Простейшие (и наиболее часто используемые) вычисления площади выполняются для квадратов и прямоугольников.

Чтобы найти площадь прямоугольника, умножьте его высоту на ширину.

Для квадрата вам нужно только найти длину одной из сторон (поскольку каждая сторона имеет одинаковую длину), а затем умножить это на себя, чтобы найти площадь. Это то же самое, что и длина 2 или длина в квадрате.

Хорошей практикой является проверка того, что фигура на самом деле является квадратом, путем измерения двух сторон. Например, стена в комнате может выглядеть как квадрат, но когда вы ее измеряете, вы обнаруживаете, что на самом деле это прямоугольник.

Часто в реальной жизни формы могут быть более сложными. Например, представьте, что вы хотите найти площадь пола, чтобы заказать нужное количество ковра.

Типовой план помещения не может состоять из простого прямоугольника или квадрата:

В этом и других подобных примерах фокус состоит в том, чтобы разделить фигуру на несколько прямоугольников (или квадратов).Неважно, как вы разделите фигуру - любое из трех решений даст один и тот же ответ.

Для решений 1 и 2 необходимо создать две фигуры и сложить их площади, чтобы найти общую площадь.

Для решения 3 вы создаете большую форму (A) и вычитаете из нее меньшую форму (B), чтобы найти площадь.


Другая распространенная проблема - найти область границы - фигуру внутри другой фигуры.

В этом примере показана дорожка вокруг поля - ширина дорожки 2 метра.

Опять же, в этом примере есть несколько способов определить площадь пути.

Вы можете просмотреть путь как четыре отдельных прямоугольника, вычислить их размеры, а затем их площадь и, наконец, сложить области, чтобы получить итог.

Более быстрый способ - вычислить площадь всей формы и площадь внутреннего прямоугольника. Вычтите площадь внутреннего прямоугольника из всей, оставив площадь пути.

  • Площадь всей формы составляет 16 м × 10 м = 160 м 2 .
  • Мы можем определить размеры средней секции, потому что знаем, что дорожка по краю имеет ширину 2 метра.
  • Ширина всей формы составляет 16 м, а ширина пути по всей форме - 4 м (2 м слева от формы и 2 м справа). 16 м - 4 м = 12 м
  • То же самое для высоты: 10м - 2м - 2м = 6м
  • Итак, мы подсчитали, что средний прямоугольник имеет размер 12 × 6 м.
  • Таким образом, площадь среднего прямоугольника составляет: 12 м × 6 м = 72 м 2 .
  • Наконец, мы убираем область среднего прямоугольника из области всей формы. 160 - 72 = 88м 2 .

Площадь тропы 88м 2 .


Параллелограмм - это четырехсторонняя форма с двумя парами сторон равной длины - по определению прямоугольник является разновидностью параллелограмма. Однако большинство людей склонны думать о параллелограммах как о четырехсторонних фигурах с наклонными линиями, как показано здесь.

Площадь параллелограмма рассчитывается так же, как и для прямоугольника (высота × ширина), но важно понимать, что высота означает не длину вертикальных (или отклоненных от вертикали) сторон, а расстояние между сторонами.

Из диаграммы вы можете видеть, что высота - это расстояние между верхней и нижней сторонами фигуры, а не длина стороны.

Представьте себе воображаемую линию под прямым углом между верхней и нижней сторонами. Это высота.


Области треугольников

Может быть полезно думать о треугольнике как о половине квадрата или параллелограмма.

Предполагая, что вы знаете (или можете измерить) размеры треугольника, вы можете быстро вычислить его площадь.

Площадь треугольника (высота × ширина) ÷ 2.

Другими словами, вы можете вычислить площадь треугольника так же, как площадь квадрата или параллелограмма, а затем просто разделите свой ответ на 2.

Высота треугольника измеряется по прямой линии от нижней линии (основания) до «вершины» (верхней точки) треугольника.

Вот несколько примеров:

Площадь трех треугольников на диаграмме выше одинакова.

Каждый треугольник имеет ширину и высоту 3 см.

Площадь рассчитана:

(высота × ширина) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4,5

Площадь каждого треугольника составляет 4,5 см 2 .


В реальных ситуациях вы можете столкнуться с проблемой, которая требует от вас найти площадь треугольника, например:

Вы хотите покрасить фронтальный конец сарая. Вам нужно посетить магазин украшений только один раз, чтобы получить нужное количество краски.Вы знаете, что литр краски покроет 10 м 2 стены. Сколько краски нужно, чтобы покрыть фронтон?

Вам нужно три измерения:

A - Общая высота до вершины крыши.

B - Высота вертикальных стен.

C - Ширина здания.

В этом примере измерения:

A - 12,4 м

B - 6,6 м

C - 11,6 м

Следующий этап требует дополнительных расчетов.Подумайте о здании как о двух формах: прямоугольнике и треугольнике. По имеющимся у вас измерениям вы можете рассчитать дополнительное измерение, необходимое для определения площади фронтона.

Размер D = 12,4 - 6,6

D = 5,8 м

Теперь вы можете определить площадь двух частей стены:

Площадь прямоугольной части стены: 6,6 × 11,6 = 76,56 м 2

Площадь треугольной части стены: (5.8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 м 2

Сложите эти две области вместе, чтобы получить общую площадь:

76,56 + 33,64 = 110,2 м 2

Как вы знаете, один литр краски покрывает 10 м 2 стены, поэтому мы можем рассчитать, сколько литров нам нужно купить:

110,2 ÷ 10 = 11,02 л.

На самом деле вы можете обнаружить, что краска продается только в 5-литровых или 1-литровых канистрах, результат - чуть более 11 литров. У вас может возникнуть соблазн округлить до 11 литров, но, если мы не будем разбавлять краску водой, этого будет недостаточно.Таким образом, вы, вероятно, округлите до следующего целого литра и купите две 5-литровые банки и две 1-литровые банки, что в сумме составит 12 литров краски. Это позволит избежать любых потерь и оставит большую часть литра для подкраски позднее. И не забывайте, что если вам нужно нанести более одного слоя краски, вы должны умножить количество краски для одного слоя на количество необходимых слоев!


Области кругов

Чтобы вычислить площадь круга, вам необходимо знать его диаметр или радиус .

Диаметр круга - это длина прямой линии от одной стороны круга до другой, проходящей через центральную точку круга. Диаметр в два раза больше длины радиуса (диаметр = радиус × 2)

Радиус круга - это длина прямой линии от центральной точки круга до его края. Радиус составляет половину диаметра. (радиус = диаметр ÷ 2)

Вы можете измерить диаметр или радиус в любой точке окружности - важно измерять, используя прямую линию, проходящую через (диаметр) или заканчивающуюся в (радиусе) центром окружности.

На практике при измерении окружностей часто легче измерить диаметр, а затем разделить на 2, чтобы найти радиус.

Радиус нужен для вычисления площади круга, формула:

площадь круга = πR 2 .

Это означает:

π = Pi - постоянная, равная 3,142.

R = радиус окружности.

R 2 (радиус в квадрате) означает радиус × радиус.


Следовательно, круг с радиусом 5 см имеет площадь:

3.142 × 5 × 5 = 78,55 см 2 .

Круг диаметром 3 м имеет площадь:

Сначала прорабатываем радиус (3м ÷ 2 = 1,5м)

Затем примените формулу:

πR 2

3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.

Площадь круга диаметром 3 м составляет 7,0695 м 2 .


Последний пример

В этом примере используется большая часть содержимого этой страницы для решения простых задач с областями.

Это дом Рубена М. Бенджамина в Блумингтоне, штат Иллинойс, внесенный в Национальный реестр исторических мест США (номер записи: 376599).

Этот пример включает поиск области фасада дома, деревянной решетчатой ​​части - исключая дверь и окна. Вам нужны следующие размеры:

A - 9,7 м B - 7,6 м
C - 8,8 м D - 4,5 м
E - 2.3 мес. F - 2,7 м
G - 1,2 м H - 1,0 м

Примечания:

  • Все размеры являются приблизительными.
  • Не нужно беспокоиться о границе вокруг дома - она ​​не учтена в измерениях.
  • Мы предполагаем, что все прямоугольные окна одинакового размера.
  • Размер круглого окна - это диаметр окна.
  • Размер двери включает ступеньки.

Какова площадь деревянной реечной части дома?

Работы и ответы ниже:



Ответы на приведенный выше пример

Сначала определите площадь основной формы дома - прямоугольника и треугольника, составляющих форму.

Главный прямоугольник (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88 м 2 .

Высота треугольника (A - B) 9,7 - 7,6 = 2,1.

Следовательно, площадь треугольника равна (2.1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24 м 2 .

Общая площадь фасада дома равна сумме площадей прямоугольника и треугольника:

66,88 + 9,24 = 76,12 м 2 .

Затем проработайте площади окон и дверей, чтобы их можно было вычесть из всей площади.

Площадь двери и ступеней составляет (Д × В) 4,5 × 2,3 = 10,35 м 2 .

Площадь одного прямоугольного окна составляет (G × F) 1.2 × 2,7 = 3,24 м 2 .

Есть пять прямоугольных окон. Умножьте площадь одного окна на 5.

3,24 × 5 = 16,2 м2. (общая площадь прямоугольных окон).

Круглое окно имеет диаметр 1 м, поэтому радиус 0,5 м.

Используя πR 2 , определите площадь круглого окна: 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855м 2 .

Затем сложите площади двери и окон.

(зона двери) 10,35 + (прямоугольная зона окон) 16.2 + (площадь круглого окна) 0,7855 = 27,3355

Наконец, вычтите общую площадь окон и дверей из всей площади.

76,12 - 27,3355 = 48,7845

Площадь деревянного реечного фасада дома и ответ на проблему: 48,7845м 2 .

Вы можете округлить ответ до 48,8 м 2 или 49 м 2 .

См. Нашу страницу Оценка, приближение и округление .

Площадь и периметр треугольника

Площадь и периметр треугольника

Периметр треугольника

Периметр многоугольника - это общая длина границы.Для треугольника мы можем найти его, сложив длины трех его сторон.

Мы можем найти длину ограждения, необходимую для треугольного парка, найдя периметр треугольника.

Сервировочный поднос, как показано на рисунке, образует равносторонний треугольник, то есть треугольник с тремя равными сторонами. Пусть каждая сторона будет длиной 20 см.

Чтобы найти общую длину декоративного шнурка, наклеиваемого на внешние границы, нужно найти периметр треугольника.Поскольку все три стороны треугольника имеют одинаковую длину, мы можем найти периметр, умножив длину каждой стороны на 3.

20 + 20 + 20 = 3 × 20 = 60 см.

Таким образом, периметр равностороннего треугольника в 3 раза больше длины каждой стороны.

Площадь треугольника

Площадь двумерной фигуры - это пространство, занимаемое фигурой. Эту площадь можно найти, разделив фигуру на единичные квадраты и определив количество единичных квадратов в форме, поскольку каждый единичный квадрат занимает одну квадратную единицу пространства.

Рассмотрим прямоугольник длиной 4 см и шириной 3 см. Его можно заполнить 3 строками и 4 столбцами единичных квадратов, поэтому площадь будет в 3 раза больше 4 или 12 квадратных сантиметров. То есть площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Прямоугольник можно разделить на два равных треугольника.

Итак, площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника. То есть 1 2 x l x w.

Рассмотрим разносторонний треугольник △ ABC.Обратите внимание: чтобы записать площадь треугольника как половину площади прямоугольника, нам нужно, чтобы высота была перпендикулярна основанию. Итак, нарисуйте перпендикуляр от вершины к противоположной стороне.

Здесь BD - перпендикуляр, проведенный из вершины B к противоположной стороне AC.

Таким образом, площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты.

Интересные факты

  • Площадь A равностороннего треугольника со стороной s см можно рассчитать по формуле A = √3 4 s 2 .Значение √3 составляет около 1,73. Таким образом, приблизительная площадь становится, A = 0,4325 с 2 .

Как в autocad складывать и вычитать площадь?

Как вычесть площадь в AutoCAD?

Выберите объекты, которые вы хотите сохранить, нажмите Enter, затем выберите объекты, которые вы хотите вычесть. Объекты во втором наборе выбора вычитаются из объектов в первом наборе выбора. Создается единый новый регион.Вы можете вычитать регионы только из других регионов, находящихся в той же плоскости.

Как добавить площадь в САПР?

Для любой команды, когда вы видите текстовый курсор, введите Area: и пробел. Щелкните правой кнопкой мыши текстовую область и выберите «Вставить поле». В диалоговом окне «Поле» выберите «Объекты» в раскрывающемся списке «Категория поля». Это упрощает поиск нужного поля.

Как использовать пересечение в AutoCAD?

Команда пересечения

в AutoCAD

  1. Введите ПЕРЕСЕЧЕНИЕ и нажмите ENTER.
  2. Выберите объекты и нажмите ENTER.

Что такое единица площади в AutoCAD?

Например, если вы выберете дюймы, каждая единица чертежа будет равна одному дюйму. Чтобы масштабировать объекты, которые вы вставляете в текущий чертеж из чертежей с разными единицами чертежа, выберите «Масштабировать объекты, вставленные из других чертежей».

Как добавить площадь?

Чтобы найти площадь прямоугольника, умножьте его высоту на ширину. Для квадрата вам нужно только найти длину одной из сторон (поскольку каждая сторона имеет одинаковую длину), а затем умножить это на себя, чтобы найти площадь.

Как измерить площадь?

Для квадратной или прямоугольной комнаты сначала нужно измерить длину, а затем ширину комнаты. Затем умножьте длину и ширину. Длина x Ширина = Площадь. Итак, если ваша комната имеет размеры 11 футов в ширину и 15 футов в длину, ваша общая площадь будет 165 квадратных футов.

Площадь складывается или вычитается?

Сложение и вычитание областей работает так же, как сложение и вычитание обычных чисел. Но сначала убедитесь, что ваши юниты такие же! Чтобы найти области сложных форм, разбейте их на более простые формы и добавьте или вычтите области.

Как найти площадь двух треугольников вместе?

Чтобы найти площадь треугольника, умножьте основание на высоту, а затем разделите на 2. Деление на 2 связано с тем, что параллелограмм можно разделить на 2 треугольника. Например, на диаграмме слева площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.

Как найти затененную область?

Площадь прямоугольника определяется умножением его длины на ширину.Площадь круга равна Пи (т. Е. 3,14), умноженному на квадрат радиуса. Найдите площадь заштрихованной области, вычтя площадь маленькой формы из площади большей.

Документ без названия

Площадь прямоугольника
Площадь треугольника A

Технически, каждое из этих расстояний должно быть абсолютным значением разницы, но проблема намного проще работать без абсолютные значения.

Площадь треугольника B

Поймите, однако, если точки не находятся в одинаковых положениях (точка 2 - самая правая и самая верхняя), что область, найденная с использованием эти формулы будут отрицательными.

Площадь треугольника C

По этой причине следует проявлять осторожность, чтобы всегда ответ неотрицательный. В конце концов, площадь треугольника не может быть отрицательной.

Давайте сложим площади трех внешних треугольников вместе.
Упрощение
Теперь вычтем площади трех треугольников. от площади прямоугольника.
Упрощение
Давайте перегруппируем эти термины
Ух ты, неплохое упражнение, не правда ли?
Теперь рассмотрим определитель, образованный размещением координат x в первом столбце, координаты y во втором столбце и константа 1 в последнем столбце.
Оценим определитель по расширяясь по колонне 3 ряд .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *