Площадь по трем сторонам – Онлайн калькулятор. Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Содержание

Площадь треугольника по трем сторонам

ТреугольникНайти площадь треугольника можно различными способами. Конечно же, в зависимости от данных переменных и подбирается необходимая формула. В основном, для нахождения площади треугольника применяется формула Герона.

Если известны все три стороны треугольника ABC, то формула площади треугольника по трем сторонам легко применится на практике:

S=sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}

где:

  • p – полупериметр треугольника,
  • a, b, c – длины сторон треугольника.

Периметр – это сумма длин всех сторон треугольника. Соответственно полупериметр – это сумма длин всех сторон разделенная на 2.
p={(a+b+c)/2}

Иконка карандаша 24x24
Рассмотрим пример расчета площади треугольника по трем сторонам:
Дан треугольник. Стороны a = 3 см., b = 4 см., c = 5 см. Для начала найдем полупериметр
p={(3+4+5)/2}=6 см.
Далее рассчитаем площадь
S=sqrt{6*(6-3)*(6-4)*(6-5)}=sqrt{6*3*2*1}=sqrt{36}=6
Площадь треугольника равна 6 кв. см

Также можно найти площадь треугольника и по другим формулам – через синус и косинус.

2mb.ru

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

Для всех треугольников



1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a

Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.


2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.


3

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности


4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности


5

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c


6

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a

Угол β°

Угол α°


Для равнобедренных треугольников


7

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)

Сторона

c


8

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами


9

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной


10

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами


Для равносторонних треугольников


11

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h



12

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a (a = b = c)


13

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h


14

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности


15

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности


Для прямоугольных треугольников


16

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b


17

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона

c

Угол α


18

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона b

Угол α


19

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d

Отрезок e


20

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с

Радиус r


21

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.


В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.


Таблица с формулами площади треугольника




Определения

Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.


Скачать формулы площади треугольника в виде картинки


doza.pro

Площадь треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Площадь любого треугольника можно найти, зная основание и высоту. Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a1 и a2, а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника, площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:


Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника: Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.


Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.


Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.

Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению котангенса угла α на высоту, а второй отрезок y – произведению котангенса угла β на эту же высоту. Дальше соединяем это вместе:



geleot.ru

Площадь треугольника по сторонам | Треугольники

Найти площадь треугольника по трем сторонам можно с помощью формулы Герона.

Формула Герона:

   

 

где p — полупериметр:

   

a, b, c — длины сторон треугольника.

 

 

 

Дано:

∆ ABC,

AB=c, AC=b, BC=a,

   

Доказать:

   

Доказательство:

В любом треугольнике всегда есть два острых угла.

 

Проведем в треугольнике ABC высоту BD при условии, что углы A и C- острые

(если треугольник ABC тупоугольный либо прямоугольный, то в качестве угла B выбираем тупой либо прямой угол).

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ABD  

   

из прямоугольного треугольника BCD —

   

Приравниваем правые части равенств:

   

BC² перенесем в правую часть, AD² — в левую:

   

   

Правую часть разложим по формуле разности квадратов:

   

Так как AD+CD=AC, то

   

   

Отсюда 

   

Сложим эти два равенства почленно и приведем правую часть к общему знаменателю:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Поскольку

   

   

   

   

то

   

   

Отсюда,

   

   

По формуле 

   

площадь треугольника ABC равна

   

Таким образом, 

   

   

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Калькулятор площади треугольника по трем сторонам

Удобная навигация по статье:

Как рассчитать площадь треугольника

Как известно, треугольником принято называть плоскую геометрическую фигуру, многоугольник, который ограничен минимальным количеством сторон. Также, стоит помнить, что всякий многоугольник делится на определённое количество треугольников.

Для этого необходимо соединить его вершины такими отрезками, которые не пересекали бы его стороны. Вот почему, зная как рассчитать площадь треугольника, Вы можете получить площадь большинства геометрических фигур.

Формула Герона для вычисления площади треугольника по трем сторонам

В том случае если нам известны параметры каждой стороны нашего треугольника, мы можем рассчитать площадь фигуры по формуле Герона. Для её упрощения следует применить новую величину, так называемый полупериметр, который является суммой всех сторон треугольника, которая разделена пополам.

После получения значения полупериметра, Вы можете приступать к расчёту площади по руководствуясь следующей формулой: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), в которой «p» – полупериметр, «a,b,c» – стороны фигуры и sqrt –квадратный корень.

Пример вычисления площади треугольника по трем сторонам

Рассмотрим на примере вычисление площади треугольника по формуле Герона.

p = (a + b + c)/ 2  где p – половина периметра треугольника.

таким образом S = √ p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) .

(Это также называется формулой Герона)

Дано:

Треугольник со сторонами a = 4, b = 5, c = 3.

Задание:
Найдите площадь треугольника

Решение:

Используйте формулу половинного периметра:

p = (3 + 4 + 5)/ 2= 6

Полученные значения подставляем в формулу Герони:

S = √ 6 ( 6 – 3 ) ( 6 – 4 ) ( 6 – 5 ) =

√ 6 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = √ 36 =6

Ответ: 6

Историческая справка

Формула приписывается Герону, живущему в  Александрии, который был греческим инженером и математиком в 10 – 70 годах нашей эры

Среди прочего, он разработал  первый известный паровой двигатель, но его рассматривали как игрушку!

Как вычислить площадь треугольника. Видео.

fox-calculator.ru

Площадь треугольника. Площадь треугольника формулы. 6 формул площади треугольника.

В этой статье  собраны наиболее популярные формулы для нахождения площади треугольника.
Если известно основание и высота, проведенная к основанию треугольника, можно  вычислить площадь треугольника.

 

\(S=\frac{1}{2}a*h\)


Формула Герона помогает вычислить площадь треугольника по трем сторонам треугольника:

Треугольник

 

\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

 

где \(a,b,c\) – стороны треугольника,  \(p=\frac{a+b+c}{2}\)  – его полупериметр.

Известная формула площади для физиков по двум сторонам и углу между ними :

Треугольник

 

\(P=\frac{1}{2}ab*sinα \)

Площадь треугольника можно вычислить, если известно три стороны и описанная окружность:

Описанная окружность

\(S=\frac{a*b*c}{4R}\)

Площадь треугольника, когда мы знаем полупериметр и радиус вписанной окружности:

 

 Вписанная окружность

\(S=pr\)

 

где r — радиус вписанной окружности,   \(p=\frac{a+b+c}{2}\)– его полупериметр.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Формула Герона, или Как найти по трем сторонам площадь треугольника — OneKu

Содержание статьи:

Треугольник является самой простой замкнутой на плоскости фигурой, состоящей всего из трех между собой соединенных отрезков. В задачах по геометрии часто необходимо определить площадь этой фигуры. Что для этого нужно знать? В статье ответим на вопрос, как по трем сторонам найти площадь треугольника.

Общая формула

Каждый школьник знает, что площадь треугольника вычисляется как произведение длины любой его стороны — a на половину высоты — h, опущенной на выбранную сторону. Ниже приведена соответствующая формула: S = a*h/2.

Вам будет интересно:Педагогический колледж в Каменске-Уральском: талант преподавателей и энтузиазм молодежи

Этим выражением можно воспользоваться, если известны хотя бы две стороны и значение угла между ними. В этом случае высоту h несложно рассчитать с использованием тригонометрических функций, например, синуса. Но как найти по трем сторонам треугольника площадь, знает далеко не каждый.

Формула Герона

Именно эта формула является ответом на вопрос, как по трем сторонам найти площадь треугольника. Прежде чем ее записать, обозначим длины отрезков произвольной фигуры как a, b и c. Формула Герона записывается в следующем виде: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Где p — полупериметр фигуры, то есть: p = (a+b+c)/2.

Несмотря на кажущуюся громоздкость, приведенное выражение для площади S запомнить легко. Для этого следует сначала рассчитать полупериметр треугольника, затем вычесть из него по одной длине стороны фигуры, перемножить все полученные разницы и сам полупериметр. В конце следует взять квадратный корень от произведения.

Данная формула носит имя Герона Александрийского, жившего в начале нашей эры. Современная история полагает, что именно этот философ впервые применил указанное выражение для выполнения соответствующих вычислений. Эта формула опубликована в его труде «Метрика», который датируется 60-м годом нашей эры. Отметим, что некоторые работы Архимеда, жившего на два столетия раньше Герона, содержат признаки того, что греческому философу была уже известна формула. Кроме того, как найти площадь треугольника, зная три стороны, также знали древние китайцы.

Важно отметить, что поставленную задачу можно решить, не зная о существовании формулы Герона. Для этого следует провести в треугольнике пару высот и воспользоваться общей формулой из предыдущего пункта, составив соответствующую систему уравнений.

Выражение Герона можно использовать для вычисления площадей произвольных многоугольников, предварительно разбивая их на треугольники и вычисляя длины возникающих диагоналей.

Пример решения задачи

Зная, как по трем сторонам найти площадь треугольника, закрепим полученные знания с помощью решения следующей задачи. Пусть стороны фигуры равны 5 см, 4 см и 3 см. Нужно найти площадь.

Известны три стороны треугольника, значит, можно воспользоваться формулой Герона. Вычисляем полупериметр и необходимые разности, имеем:

  • p = (a+b+c)/2 = 6 см;
  • p-a = 1 см;
  • p-b = 2 см;
  • p-c = 3 см.

Тогда получаем площадь: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = √(6*1*2*3) = 6 см2.

Приведенный в условии задачи треугольник является прямоугольным, что нетрудно проверить, если воспользоваться теоремой Пифагора. Поскольку площадь такого треугольника половине произведения катетов равна, то получаем: S = 4*3/2 = 6 см2.

Полученное значение совпадает с аналогичным для формулы Герона, что подтверждает справедливость последней.

Источник

1ku.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о