Площадь по трем сторонам – Площадь треугольника по трем сторонам

Содержание

Площадь треугольника по трем сторонам

Найти площадь треугольника можно различными способами. Конечно же, в зависимости от данных переменных и подбирается необходимая формула. В основном, для нахождения площади треугольника применяется формула Герона.

Если известны все три стороны треугольника ABC, то формула площади треугольника по трем сторонам легко применится на практике:

где:

  • p – полупериметр треугольника,
  • a, b, c – длины сторон треугольника.

Периметр – это сумма длин всех сторон треугольника. Соответственно полупериметр – это сумма длин всех сторон разделенная на 2.

Рассмотрим пример расчета площади треугольника по трем сторонам:
Дан треугольник. Стороны a = 3 см., b = 4 см., c = 5 см. Для начала найдем полупериметр
=6 см.
Далее рассчитаем площадь

Площадь треугольника равна 6 кв. см

Также можно найти площадь треугольника и по другим формулам – через синус и косинус.







2mb.ru

Калькулятор площади треугольника по трем сторонам

Удобная навигация по статье:

Как рассчитать площадь треугольника

Как известно, треугольником принято называть плоскую геометрическую фигуру, многоугольник, который ограничен минимальным количеством сторон. Также, стоит помнить, что всякий многоугольник делится на определённое количество треугольников.

Для этого необходимо соединить его вершины такими отрезками, которые не пересекали бы его стороны. Вот почему, зная как рассчитать площадь треугольника, Вы можете получить площадь большинства геометрических фигур.

Формула Герона для вычисления площади треугольника по трем сторонам

В том случае если нам известны параметры каждой стороны нашего треугольника, мы можем рассчитать площадь фигуры по формуле Герона. Для её упрощения следует применить новую величину, так называемый полупериметр, который является суммой всех сторон треугольника, которая разделена пополам.

После получения значения полупериметра, Вы можете приступать к расчёту площади по руководствуясь следующей формулой: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), в которой «p» – полупериметр, «a,b,c» – стороны фигуры и sqrt –квадратный корень.

Пример вычисления площади треугольника по трем сторонам

Рассмотрим на примере вычисление площади треугольника по формуле Герона.

p = (a + b + c)/ 2  где p – половина периметра треугольника.

таким образом S = √ p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) .

(Это также называется формулой Герона)

Дано:

Треугольник со сторонами a = 4, b = 5, c = 3.

Задание:
Найдите площадь треугольника

Решение:

Используйте формулу половинного периметра:

p = (3 + 4 + 5)/ 2= 6

Полученные значения подставляем в формулу Герони:

S = √ 6 ( 6 – 3 ) ( 6 – 4 ) ( 6 – 5 ) =

√ 6 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = √ 36 =6

Ответ: 6

Историческая справка

Формула приписывается Герону, живущему в  Александрии, который был греческим инженером и математиком в 10 – 70 годах нашей эры

Среди прочего, он разработал  первый известный паровой двигатель, но его рассматривали как игрушку!

Как вычислить площадь треугольника. Видео.

fox-calculator.ru

Площадь треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Площадь любого треугольника можно найти, зная основание и высоту. Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a1 и a2, а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника, площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:


Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника:

Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.


Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.


Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.

Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению котангенса угла α на высоту, а второй отрезок y – произведению котангенса угла β на эту же высоту. Дальше соединяем это вместе:

geleot.ru

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников и калькулятор для решения онлайн. Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

Для всех треугольников


1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, опущенную на это основание: . Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.


Сторона a


Высота h


2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между этими сторонами: . Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.


Сторона a


Сторона b


Угол α° между сторонами a и b


3

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника равна половине суммы всех трех сторон треугольника умноженной на радиус вписанной окружности.  или по-другому можно сказать: «Площадь треугольника равна половине периметра треугольника, умноженного на радиус вписанной окружности.»


Сторона a


Сторона b


Сторона c


Радиус r вписанной окружности


4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника равна произведению трех сторон треугольника, деленных на четыре радиуса описанной окружности:


Сторона a


Сторона b


Сторона c


Радиус R описанной окружности


5

Площадь треугольника по формуле Герона

Если известны все три стороны треугольника, можно вычислить его площадь используя формулу Герона: , где p – это полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле


Сторона a


Сторона b


Сторона c

Полупериметр:


Для равнобедренных треугольников

6

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Вычислить площадь:


Боковая сторона a (a = b)


Угол α° между боковыми сторонами


7

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Вычислить площадь:


Боковая сторона a (a = b)


Основание треугольника c


Угол β° между основанием и стороной


8

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Вычислить площадь:


Основание треугольника c


Угол α° между боковыми сторонами


Для равносторонних треугольников

9

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Вычислить площадь:


Сторона a (a = b = c)


10

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Вычислить площадь:


Высота h


11

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Вычислить площадь:


Радиус r вписанной окружности


12

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Вычислить площадь:


Радиус R описанной окружности


Для прямоугольных треугольников

13

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Вычислить площадь:


Катет a


Катет b


14

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Вычислить площадь:


Отрезок d


Отрезок e


15

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Формула Герона для прямоугольного треугольника , где p – это полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле

Вычислить площадь:


Сторона a


Сторона b


Сторона c

Полупериметр:


Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить:

Для всех треугольников


  1. по основанию и высоте


  2. по двум сторонам и углу между ними

  3. по радиусу вписанной окружности и трем сторонам


  4. по радиусу описанной окружности и трем сторонам


  5. по формуле Герона

Для равнобедренных треугольников


  1. по боковым сторонам и углу между ними


  2. по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием


  3. по основанию и углу между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников


  1. по стороне

  2. по высоте

  3. по радиусу вписанной окружности

  4. по радиусу описанной окружности

Для прямоугольных треугольников


  1. по двум катетам

  2. по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

  3. по формуле Герона

doza.pro

Площадь треугольника по сторонам | Треугольники

Найти площадь треугольника по трем сторонам можно с помощью формулы Герона.

Формула Герона:

   

 

где p — полупериметр:

   

a, b, c — длины сторон треугольника.

 

 

 

Дано:

∆ ABC,

AB=c, AC=b, BC=a,

   

Доказать:

   

Доказательство:

В любом треугольнике всегда есть два острых угла.

 

Проведем в треугольнике ABC высоту BD при условии, что углы A и C- острые

(если треугольник ABC тупоугольный либо прямоугольный, то в качестве угла B выбираем тупой либо прямой угол).

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ABD  

   

из прямоугольного треугольника BCD —

   

Приравниваем правые части равенств:

   

BC² перенесем в правую часть, AD² — в левую:

   

   

Правую часть разложим по формуле разности квадратов:

   

Так как AD+CD=AC, то

   

   

Отсюда 

   

Сложим эти два равенства почленно и приведем правую часть к общему знаменателю:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Поскольку

   

   

   

   

то

   

   

Отсюда,

   

   

По формуле 

   

площадь треугольника ABC равна

   

Таким образом, 

   

   

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Формула Герона для площади треугольника

Треугольник – это фигура, которая образуется после соединения трех точек, не лежащих на одной прямой отрезками. Точки называются вершинами, а отрезки сторонами. Для расчета треугольника существует множество формул, которые помогают найти как длины сторон, радиусы углов и прочие составляющие фигуры, так и площадь треугольника.

Самой распространенной формулой для расчета площади треугольника по трем сторонам является формула Герона . Если известны длины всех сторон, то можно вычислить площадь фигуры, применив формулу Герона для площади треугольника.

где a, b, c – длины сторон, а p– полупериметр.
Полупериметр – это сумма длин всех сторон поделенная на два.

Пример расчета формулы Герона для площади треугольника
Дан треугольник, в котором a = 5, b = 6, c = 7. Найдем полупериметр:

Теперь подставим данные в формулу для нахождения площади:

В итоге мы нашли площадь треугольника. Она равна 14,7 кв. см.







2mb.ru

Формулы площади треугольника

Формулы площади треугольника

Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы

Внимание! Десятичную дробь надо писать с точкой(.), а не с запятой!

Через основание и высоту

$$S= \frac{1}{2} ah $$
\(S\) — площадь треугольника

\(a\) — основание

\(h\) — высота

\(a =\)   
\(h =\)


Через две стороны и угол

$$S= \frac{1}{2} ab sin \alpha $$
\(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\( \alpha \) — угол между сторонами \(a\) и \(b\)

\(a =\)   
\(b =\)   
\( \alpha =\)


Формула Герона

$$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
\(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(a =\)   
\(b =\)   
\(c =\)


Через радиус вписанной окружности

$$S= rp $$
\(S\) — площадь треугольника

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(r =\)   
\(p =\)


Через радиус описанной окружности

\(S= \frac{abc}{4R} \)

\(S\) — площадь треугольника

\(R\) — радиус описанной окружности

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(a =\)  
\(b =\)

\(c =\)  
\(R =\)


Площадь прямоугольного треугольника

$$S= \frac{1}{2} ab $$
\(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(a =\)   
\(b =\)


Площадь прямоугольного треугольника

$$S= de $$
\(S\) — площадь треугольника

\(d =\)   
\(e =\)


Формула Герона для прямоугольного треугольника

$$ S= (p-a)(p-b) $$
\(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(a =\)   
\(b =\)   
\(p =\)


Площадь равнобедренного треугольника

$$S= \frac{1}{2} a^2 sin \alpha$$
\(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами

\(a =\)   
\( \alpha =\)


Площадь равнобедренного треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

\(a =\)   
\(b =\)   
\( \alpha =\)


Площадь равнобедренного треугольника

$$S= \frac{b^2}{4tg \frac{ \alpha }{2}} $$
\(S\) — площадь треугольника

\(b\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

\(b =\)   
\(\alpha =\)


Формула Герона для равнобедренного треугольника

a =   
b =


Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{ \sqrt{3}a^2}{4} $$
\(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(a =\)


Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{3 \sqrt{3}R^2}{4}$$
\(S\) — площадь треугольника

\(R\) — радиус описанной окружности

\(R =\)


Площадь равностороннего треугольника


$$S= 3 \sqrt{3}r^2 $$
\(S\) — площадь треугольника

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(r =\)


Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$
\(S\) — площадь треугольника

\(h\) — высота

\(h =\)

www.100formul.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о