Расчет поворотной лестницы на 90 градусов: Расчет размеров поворотных лестниц

Калькулятор лестницы с поворотом на 90 градусов

Главная / Калькулятор лестниц / Лестница с поворотом на 90 градусов

Поворотные лестницы отличаются от прямых усложненной конструкцией. За счет геометрической формы определить точные размеры и количество материалов трудно. Перед выбором лестницы с поворотом на 90 градусов, рекомендуется сначала узнать ее точные параметры.

На сайте доступно несколько конфигураций деревянных лестниц. В зависимости от требований выбирается подходящая. Все изделия создаются из натурального и прочного дерева. В составе не присутствуют вредные вещества (клей, дешевые антисептики и т.д.), которые могут навредить человеку.

Купить поворотную лестницу

Среди товаров представлены шаблонные варианты. Точные геометрические параметры определяются исходя из требований каждого клиента, ведь конфигурация помещения может значительно отличаться от стандартных значений.

Среди товаров есть лестницы с:

• площадкой на тетивах;
• поворотными ступенями на тетивах;
• площадкой на косоурах;
• поворотными ступенями на косоурах.

Учитывая эти параметры определяются точные размеры.

Калькулятор лестницы онлайн

На сайте можно бесплатно посчитать количество материалов и основные габариты деревянной поворотной конструкции. На основании исходных данных для расчета определяется информация для:

• изготовления рамы площадки, тетив и их соединения;
• изготовления площадки и ступеней;
• создания перил.

После автоматического расчета, покупателю выдается стоимость изделия, чертежи и предоставляется возможность сразу сделать заказ.

Исходными данными выступают не только размеры, но и материалы, конфигурация перил. Используя калькулятор можно самостоятельно выбирать породу дерева отдельного элемента (ступени, балясины, тетивы и т.д.). Конфигурация перил подразумевает использование их сразу в 2-х пролетах или в одном. Прежде чем приступать к расчету нужно знать высоту этажа, площадь выделяемого пространства под лестницу.

Быстро оценивайте внешний вид поворотной деревянной лестницы, получайте чертежи и делайте заказ. Результатом обязательно будете довольны.

Наши преимущества

Сами производим материалы для лестниц с поворотом на 90 градусов

При производстве наших столярных изделий мы соблюдаем все необходимые нормативы на каждом этапе, от подготовки сырья до транспортировки готового продукта.

Материалы хранятся на собственном складе

Не нарушаются условия хранения. Мы следим за влажностью нашего склада (не выше 62%), поэтому материалы для лестниц с поворотом на 90 градусов сохраняют свои свойства.

Сами обрабатываем сырье

Чтобы довести древесину до нужной влажности, мы подвергаем сырье просушке в сушильной камере в пределах от 8 до 10 %, что позволяет материалам для лестниц с поворотом на 90 градусов оставаться ровными при дальнейшей эксплуатации.

Ровная склейка и шлифовка материалов для лестниц с поворотом на 90 градусов

Сращиваем заготовки и отшлифовываем до идеально гладкой поверхности.

У нас есть любые материалы для покрытия материалов для лестниц с поворотом на 90 градусов

Сэкономьте время на поиске нужных покрытий. У нас большой выбор лакокрасочных изделий для защиты, полировки и ухода за деревянными поверхностями.

Собственная доставка по Москве и МО

Вы получите материалы для лестниц с поворотом на 90 градусов без повреждений так как мы сами упаковываем, загружаем и транспортируем.

Вопросы и ответы

Есть ли материалы для лестниц с поворотом на 90 градусов в наличии?

Практически все показанные на сайте материалы есть в наличии. Мы рекомендуем уточнять наличие мебельных щитов, деревянных столешниц, ступеней из щита и других материалов у менеджеров по тел: +7 (495) 220-05-75

Как сделать заказ на материалы для лестниц с поворотом на 90 градусов?

Для максимально быстрого заказа напишите нам на почту или WhatsApp.

Какой срок доставки?

Мы доставляем материалы для лестниц с поворотом на 90 градусов на следующий день после заказа, иногда возможна доставка в тот же день. Уточняйте по телефону, почте или через WhatsApp.

Что делать если материалы для лестниц с поворотом на 90 градусов ненадлежащего качества?

Мы стараемся максимально следить за качеством. Если среди материалов, которые мы вам доставили обнаружились некачественные экземпляры, мы быстро организуем замену. Главное сообщите нам об этом.

Как можно оплатить материалы для лестниц с поворотом на 90 градусов?

Мы принимаем оплату наличными, банковскими картами через терминал, по счету на расчетный счет компании.

Отзывы от наших покупателей

«Всё отлично, самые низкие цены в городе, при этом качество хорошее. Привезли всё как обещали, осталось лишнее, принимают возврат, главное, чтоб было всё в упаковке.»

Руслан

«Большой выбор материалов. Хорошие цены, внимательные менеджеры. Работают каждый день – удобно.»

Дмитрий

«Хорошее соотношение цены и качества. Можно брать.»

Алексей

Расчет забежной лестницы, расчет ступеней лестницы

Расчет лестницы на 90° с поворотными ступенямиzamerdoma2018-05-22T09:42:16+00:00

Укажите размеры вашей лестницы в мм

Высота проема Y

Длина проема X

Ширина лестницы E

Количество ступеней всего

Количество поворотных ступеней C2

Количество нижних ступеней C1

Толщина ступеней Z

Выступ края ступеней F

Определите положение первой ступени относительно уровня пола второго этажа

Верхняя ступень по уровню 2 этажа

Верхняя ступень ниже пола 2 этажа

*Параметры лестницы

Поделитесь с друзьями бесплатным онлайн калькулятором!

Простой онлайн калькулятор рассчитает количество ступеней, глубину ступеней, высоту ступеней для забежной лестницы на 90° на второй этаж. Начните расчет лестницы!

Как рассчитать ступени лестницы

Приведем известную формулу французского архитектора Франсуа Блонделя, для расчета чаще всего используют именно его формулу удобства ступеней лестницы, она основана на средней длине человеческого шага в 63 см.

Формула Блонделя S = a + h*2: ширина проступи + 2 высоты подступенка = 60-65 см.
Формула безопасности: a + h = 46 см
Формула удобства: a – h = 12 см

s – величина среднего шага
a – ширина проступи
h – высота подъема ступени (подступенка)
Благодаря этим трем формулам определяется удобство и безопасность лестницы.
Необходимо учесть, что ширина проступи – величина a должна быть в пределах 25 – 30 см. А высота ступени – величина h лежать в пределах 15 – 20 см.
Р.S. при других заданных параметрах лестница будет не удобной, в других случая и опасной.
Программа расчета ступеней лестницы с забежными ступенями выдаст точный расчет количества удобных ступеней, глубину и высоту ступеней, а так же угол наклона вашей лестницы и на сколько ваша забежная лестница «удобная», «неудобная» и в итоге безопасная. В зависимости от итоговых результатов вы всегда сможете подогнать все значения до идеальных параметров лестницы для максимально безопасного передвижения по ней. Меняйте количество ступеней, подбирайте самое подходящее количество ступеней для вашей лестницы с забежными ступенями. Учитывайте, что ширина лестничной поворотной площадки равна ширине лестницы, которую вы указываете в калькуляторе сами.

Безопасность поворотной лестницы с забежными ступенями

Рекомендуем делать количество ступеней поворотной лестницы не четным, чтобы начиная восхождение и спускаясь, вы смогли это сделать с одной и той же ноги, с опорной, это гораздо удобнее. Желательно, чтобы в одном лестничном марше было минимум 3 ступеньки. Чтобы ваша лестницы была максимально безопасной, необходимо знать, что высота ограждений лестницы должны быть всегда выше центра тяжести человека, таким образом, безопасной высотой ограждения считается 90 — 120 см.

 Чертеж забежной лестницы

Калькулятор онлайн автоматически по вашим параметрам выведет чертеж забежной лестницы на 90 градусов и выдаст полные расчеты деревянной лестницы с косоурами, рассчитает угол наклона и размеры верхней и нижней тетивы. А также покажет рекомендации связанные с количеством ступеней, угла наклона лестницы и длиной проема, если таковые понадобятся, относительно заданных вами размеров. При желании вы сможете сохранить итоговые расчеты и чертеж лестницы на ваш компьютер.

расчетов поворотного стола | model railroad electronics

Background

Для тех читателей, которым нужна дополнительная информация о процессе, который я использовал для разработки приводного механизма для моего проекта проигрывателя, читайте дальше.

Рис. 1: Разворотный депо KATO в упаковке и без него

Разгрузочный депо KATO состоит из трех киосков, центральные линии которых разнесены на 10 градусов друг от друга. Мы хотим, чтобы шаговый механизм мог точно выровняться с этими тремя дорожками, но для этого количество шагов механизма за оборот должно быть кратно (360° ⁄ 10°) или 36.

равномерно на 36, поэтому мне нужно использовать механизм шестерни или шкива, чтобы изменить количество шагов на оборот со стороны поворотного стола.

Есть три переменных, которые я могу настроить для установки передаточного отношения:

1. Количество шагов на оборот шагового двигателя
2. Диаметр шкива двигателя или число зубьев на его шестерне
3. Диаметр шкива поворотной платформы или количество зубьев на его шестерне

Чтобы проскальзывание не приводило к ошибкам в позиционировании поворотного стола, я использую зубчатый ремень для соединения двигателя и поворотного стола, поэтому мне нужно выбрать количество зубьев двух шестерен. Ремень представляет собой ремень MXL с шагом (расстоянием между зубьями) 0,08 дюйма. У меня также есть три размера маленьких зубчатых шкивов, совместимых с MXL, на выбор для стороны двигателя: шкивы с 18 и 32 зубьями для валов двигателя 4 мм, а также шкивы с 20 зубьями для валов 5 мм.

Для шагового двигателя у меня есть три разных шаговых двигателя. (На самом деле четыре, см. примечания ниже.)

Рис. 2: Шаговые двигатели и редукторы, сетка 1/2 дюйма для справки

Слева направо на рис. 2:

• 8-проводной шаговый двигатель с редуктором, 480 шагов на оборот, с помощью пары внешних шестерен я мог бы изменить эффективное разрешение до 2400 шагов на оборот или 0,15 градуса на шаг. К сожалению, этот мотор у меня уже как минимум 35 лет, а электрической схемы у меня больше нет, да и найти ее в Интернете невозможно. Он также довольно тяжелый для своего размера.
• Новый 4-проводной шаговый двигатель NEMA-17 с 200 шагами на оборот. Также немного большой и тяжелый. Этот двигатель и 8-проводной рассчитаны на питание 12 вольт. Шаговые двигатели NEMA-17 обычно используются в 3D-принтерах и станках с ЧПУ. Я получил свой от Adafruit.com.
• Шаговый двигатель с 5-проводным редуктором с 513(!) шагами на оборот. Это конкретное устройство доступно как в 5-вольтовой, так и в 12-вольтовой версиях на Adafruit. com. У меня блок на 5 вольт.

ПРИМЕЧАНИЕ: Оказывается, шаговый двигатель, который рекламировался как имеющий 513 шагов на оборот, теперь указан как имеющий 516 шагов. Другой текст на текущей веб-странице поставщика для этого двигателя заставляет меня поверить, что новый номер неверен. Тем не менее, в нескольких ветках сообщений на онлайн-форуме компании говорится, что один и тот же двигатель с одним и тем же номером детали на самом деле поставляется с различным количеством шагов, в зависимости от конкретных шестерен, установленных внутри, без маркировки для определения фактического количества. Поэтому я не могу доверять этому маленькому двигателю для своего проекта.

ДРУГОЕ ПРИМЕЧАНИЕ: С тех пор я нашел еще лучший шаговый двигатель для этого проекта, 5-вольтовый двигатель NEMA-8, который фактически поместится внутри модуля T-TRAK, который будет удерживать проигрыватель; двигатель NEMA-17 в монтажном кронштейне оказался физически слишком большим, чтобы поместиться внутри модуля. Меньший двигатель также имеет 4-миллиметровый приводной вал, а не 5-миллиметровый вал NEMA-17, поэтому я буду использовать с ним шкив с 18 зубьями. Ниже приведено изображение оригинального шагового двигателя NEMA-17 с двумя двигателями NEMA-8, один из которых установлен в тестовой версии напечатанного на 3D-принтере монтажного адаптера, а его шкив на валу двигателя.

Рисунок 3: Шаговые двигатели NEMA-17 и NEMA-8, сетка 1/2 дюйма для справки.

Расчеты

и шестерня проигрывателя большая. Назовем число зубьев маленькой шестерни двигателя SG и используем LG для большей шестерни проигрывателя.

Очевидно, что и SG , и LG являются целыми числами, потому что в шестерне не может быть дробных зубьев. Но передаточное число GR = ( LG ⁄ SG ) может быть дробным; передаточное число 3:2 или 1,5 было бы вполне разумным. Давайте также используем SC для количества шагов двигателя за оборот. Таким образом, если мы подключим зубчатую передачу к нашему двигателю, мы сможем перемещать поворотный стол с новым числом шагов TC = SC × GR = SC × LG ⁄ SG .

Это TC , который мы теперь хотим кратным 36, чтобы соответствовать размерам разворота.

Я не могу найти большие шестерни для стороны поворотного стола, совместимые с зубчатым ремнем и , имеют достаточно большое количество зубьев, чтобы дать мне пригодный для использования TC , поэтому я напечатаю на 3D-принтере нестандартную шестерню с номером зубов я хочу. Итак, сколько зубов и я хочу?

Счетчик шагов SC составляет 480, 2400, 200 или 513, в зависимости от того, какой двигатель я использую, а в случае старого 480-шагового двигателя, если я включаю внешнюю пару шестерен 5:1. Можно подумать, что чем больше шагов, тем лучше. Мы определяем SG на 18 для двигателя с валом 4 мм. TC должно быть кратно 36, поэтому мне нужно найти подходящие значения для LG , количества зубьев в большей шестерне поворотного стола.

Мне нужно рассмотреть еще два ограничения. Во-первых, поверхность печати моего 3D-принтера имеет квадрат 220 мм или около 8,7 дюймов в направлениях X и Y.

Поэтому я не могу создать большое снаряжение, которое не поместится в этой области. Кроме того, мне нужно, чтобы угол шага поворотного стола был (намного) меньше, чем ширина головок рельсов на концах моста поворотного стола, чтобы я мог точно настроить положения, в которых поворотный стол должен будет выровняться с гусеницами вокруг его периметр.

На большинстве путей N-образной колеи используются рельсы толщиной 0,025 дюйма или 0,635 мм в верхней части (головка рельса). Мост проигрывателя имеет длину 151 мм, поэтому радиус вдвое меньше или 75,5 мм. Таким образом, конец каждого рельса образует угол (0,635 ⁄ 75,5) ≅ 0,0084 радиана ≅ 0,48 °. Я хочу, чтобы угол, перемещаемый для каждого шага поворотного стола, был частью этого угла, скажем, 0,10 °. Это потребует большего передаточного отношения, чтобы уменьшить размер шага поворотного стола, но не настолько большого, чтобы шестерня стала слишком большой для принтера.

После нескольких неудачных попыток найти рабочие передаточные числа в стиле пещерного человека (карандаш и бумага), я, наконец, написал программу на Python, которая позволяет мне установить начальные параметры, а затем ищет размеры большой шестерни, соответствующие всем моим ограничениям. Вы можете найти исходный код внизу этой страницы.

Я запустил код Python, используя малую шестерню с 18 зубьями и 200-ступенчатый двигатель NEMA-8, и нашел следующие 3 возможных решения.

 Ступени зубчатого колеса большого диаметра / Общая длина головки рельса
 Шестерня (мм) (дюймы) Передаточное число (градусы) Шаги срыва Доля
----- -------- -------- ------ ------ ------ ----- ------ --
   81 52,4 2,06 4,500 0,4000 25 900 0,9583
  162 104,8 4,13 9,000 0,2000 50 1800 0,4792
  243 157,2 6,19 13,500 0,1333 75 2700 0,3194 

Я могу улучшить эти цифры, запустив 200-шаговый двигатель с микрошагом , используя драйвер двигателя, который может питать две катушки шагового двигателя синусоидальным напряжением. 90 градусов друг от друга по фазе. Фактические управляющие напряжения могут быть чисто аналоговыми или цифровыми PWM (импульсно-волновыми). Драйвер, который я разработал, построен на основе L29.Трехмерная микросхема драйвера с четырьмя полупроводниковыми мостами, использующая код Arduino, который аппроксимирует синусоидальные напряжения с помощью ШИМ на четырех выходах микроконтроллера. Новый драйвер был протестирован в 1/8-шаговом режиме, поэтому двигатель движется так, как если бы он был двигателем с 1600 шагами вместо 200. Выполнение тех же вычислений с 1600 шагами вместо 200 дало мне эти решения.

 Ступени зубчатого колеса большого диаметра / Общая длина головки рельса
 Шестерня (мм) (дюймы) Передаточное число (градусы) Шаги срыва Доля
----- -------- -------- ------ ------ ------ ----- ------ --
   81 52,4 2,06 4,500 0,0500 200 7200 0,1198
  162 104,8 4,13 9,000 0,0250 400 14400 0,0599
  243 157,2 6,19 13,500 0,0167 600 21600 0,0399 

Основываясь на этих результатах, я планирую напечатать на 3D-принтере 243-зубчатую шестерню с тем же шагом, что и у малой шестерни двигателя, что даст мне очень мелкие ступени по сравнению с шириной железнодорожные головки.

Код Python

Ниже приведен скрипт Python 3, который я использовал для поиска допустимых комбинаций размеров шестерен и размеров шага шагового двигателя для работы над моим проектом железнодорожного поворотного стола. Этот скрипт также можно загрузить из моего репозитория GitHub по адресу https://github.com/twrackers/Turntable-sketches/blob/main/Python/turntable.py.

 импорт математики
# Обновление сценария 21 сентября 2018 г., автор Thomas W Rackers
# Улучшено форматирование результатов.
# Скрипт снова обновлен 2020/4/23
# Еще лучшее форматирование результатов. 🙂
# Скрипт снова обновлен 11.03.2022
# Используйте метод .is_integer().
# Скрипт обновлен 26.06.2022
# Обновите rail_width значением с веб-сайта KATO.
# Скрипт обновлен 26.11.2022
# Изменено stepper_count на новое значение для 1/2 микрошага.
# Скрипт обновлен 2023/2/11
# Изменен размер шестерни шагового шкива с 18 до 20 зубьев.
# Повышена точность отображаемого передаточного числа.
# Добавлен столбец для общего количества шагов за оборот.
# Скрипт обновлен 2023/2/19# Изменен размер шестерни шагового шкива обратно на 18 зубьев.
# Изменен stepper_count для 1/2 микрошага.
# Скрипт обновлен 2023/3/28
# Изменено число шаговых двигателей для 1/8 микрошага с новым драйвером h/w. 
определение in_to_mm(v):
    возврат v * 25,4
определение mm_to_in(v):
    возврат v/25.4
def make_gear (шаг):
    вернуть лямбда x: x * шаг / math.pi
# Регулируемые параметры
stepper_count = 1600 # шаговый счетчик/оборот,
                      # с использованием микрошага 1/8
small_gear = 18 # количество зубьев на маленьком шкиве
# Фиксированные значения
число_столов = 36
roundhouse_delta = 360 / num_stalls # угол между стойлами, градусы
belt_pitch = in_to_mm(0.08) # Шаг ремня MXL, мм
rail_width = 0,55 # Ширина головки рельса колеи KATO N, мм
rail_length = 151 # длина рельса, мм
max_dia = 200 # максимальный диаметр большой шестерни, мм
# Диаметр ограничен объемом печати 3D-принтера.
# Определить генератор с ременной передачей с известным шагом ремня.
gear_dia = make_gear(belt_pitch)
# gear_dia(teeth) вернет диаметр в мм.
# Угол между шагами шагового двигателя, градусы
stepper_delta = 360 / stepper_count
# Рабочий диаметр малой шестерни, мм
small_gear_dia = gear_dia(small_gear)
# Ширина дуги конца рельса, град. 
rail_arc = math.степени (rail_width / (rail_length / 2))
# Строки заголовка и формата
hdr1 = "Шаги ступени шестерни большого диаметра/ Всего головки рельса"
hdr2 = "Передача (мм) (дюймы) Передаточное число (градусы) Доля шагов срыва"
hdr3 = "----- -------- -------- ------ ------ ------ ----- --- -----"
fmt = "{:5} {:8.1f} {:8.2f} {:6.3f} {:6.4f} {:6} {:5} {:8.4f}"
# Печать заголовка.
печать (hdr1)
печать (hdr2)
печать (hdr3)
# Попробуйте размеры для большой шестерни от размера маленькой шестерни вверх.
для big_gear в диапазоне (small_gear, 20 * small_gear):
    # Остановитесь, если мы превысим мощность 3D-принтера.
    large_gear_dia = gear_dia (большая_шестерня)
    если large_gear_dia > max_dia:
        перерыв
    # Рассчитать передаточное число.
    gear_ratio = большая_шестерня / маленькая_шестерня
    # Рассчитать размер шага поворотного стола (градусы).
    поворотный_дельта = шаговый_дельта / передаточное_отношение
    # Если шаги поворотного круга не меньше дуги
    # конец головки рельса, пропустите этот. 
    rail_widths = поворотная_дельта/рельс_дуга
    если rail_widths > 1:
        продолжать
    # Рассчитать количество шагов между киосками с разворотом.
    roundhouse_steps = roundhouse_delta / поворотная_дельта
    # Количество шагов должно быть целым числом.
    rounded_steps = round(roundhouse_steps, 2)
    если rounded_steps.is_integer():
        печать (fmt.format (large_gear, large_gear_dia,
                         mm_to_in(large_gear_dia), gear_ratio,
                         поворотный_дельта, интервал (округленные_шаги),
                         int(округленные_шаги * количество_прилавков),
                         ширина_рельса))
 

Нравится:

Нравится Загрузка…

6.1 Угол вращения и угловая скорость — физика

Раздел Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

• Описывать угол поворота и связывать его с его линейным аналогом
• Опишите угловую скорость и свяжите ее с ее линейным эквивалентом
• Решение задач на угол поворота и угловую скорость

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:

• (4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы, управляющие движением, в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
  • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и окружностей.

Основные термины раздела

угол поворота	угловая скорость	длина дуги	круговое движение
радиус кривизны	вращательное движение	вращение	тангенциальная скорость

Угол поворота

Что именно мы подразумеваем под круговое движение или вращение ? Вращательное движение – это круговое движение объекта вокруг оси вращения. Мы обсудим конкретно круговое движение и вращение. Круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории. Примеры кругового движения включают в себя гоночный автомобиль, мчащийся по круговой кривой, игрушку, прикрепленную к веревке, которая качается по кругу вокруг вашей головы, или круговое движение «петля за петлей» на американских горках. Вращение — это вращение вокруг оси, проходящей через центр масс объекта, например, Земля, вращающаяся вокруг своей оси, колесо, вращающееся вокруг своей оси, вращение торнадо на пути разрушения или вращение фигуриста во время выступление на Олимпиаде. Иногда объекты будут вращаться во время кругового движения, например Земля, вращающаяся вокруг своей оси, вращаясь вокруг Солнца, но мы сосредоточимся на этих двух движениях отдельно.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL][OL] Объясните разницу между круговым и вращательным движением, используя вращение Земли вокруг своей оси и ее вращение вокруг Солнца. Объясните, что вращение Земли слегка эллиптическое, хотя и очень близкое к круговому.

[OL][AL] Попросите учащихся привести примеры кругового движения.

При решении задач, связанных с вращательным движением, мы используем переменные, которые аналогичны линейным переменным (расстояние, скорость, ускорение и сила), но учитывают кривизну или вращение движения. Здесь мы определяем угол поворота, который является угловым эквивалентом расстояния; и угловая скорость, которая является угловой эквивалентностью линейной скорости.

Когда объекты вращаются вокруг какой-либо оси — например, когда диск на рис. 6.2 вращается вокруг своего центра — каждая точка объекта движется по круговой траектории.

Рисунок 6.2 Все точки на компакт-диске движутся по круговым траекториям. Ямки (точки) вдоль линии от центра к краю перемещаются на один и тот же угол ΔθΔθ за время ΔtΔt.

Длина дуги , , это расстояние, пройденное по круговой траектории. Радиус кривизны, r , является радиусом кругового пути. Оба показаны на рис. 6.3.

Рисунок 6.3 Радиус ( r ) окружности повернут на угол ΔθΔθ. Длина дуги, ΔsΔs, представляет собой расстояние, пройденное по окружности.

Рассмотрим линию от центра компакт-диска к его краю. В заданное время каждая яма (используемая для записи информации) на этой линии перемещается на один и тот же угол. Угол поворота представляет собой величину поворота и является угловым аналогом расстояния. Угол поворота ΔθΔθ — это длина дуги, деленная на радиус кривизны.

Δθ=ΔсрΔθ=Δср

Угол поворота часто измеряется в радианах. (Радианы на самом деле безразмерны, потому что радиан определяется как отношение двух расстояний, радиуса и длины дуги.) Оборот — это один полный оборот, когда каждая точка на окружности возвращается в исходное положение. Один оборот покрывает 2π2π радиан (или 360 градусов) и, следовательно, имеет угол поворота 2π2π радиан и длину дуги, равную длине окружности. Мы можем преобразовать радианы, обороты и градусы, используя соотношение

1 оборот = 2π2π рад = 360°. См. Таблицу 6.1 для преобразования градусов в радианы для некоторых распространенных углов.

2π рад=360°1рад=360°2π≈57,3°2π рад=360°1рад=360°2π≈57,3°

6,1

Градусы	Радианные меры
30∘30∘	π6π6
60∘60∘	π3π3
90∘90∘	π2π2
120∘120∘	2π32π3
135∘135∘	3π43π4
180∘180∘	ππ

Стол 6.1 Обычно используемые углы в градусах и радианах

Угловая скорость

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] Просмотр перемещения, скорости, скорости, ускорения.

[AL] Спросите учащихся, изменяется ли скорость при равномерном круговом движении. А как насчет скорости? А ускорение?

Как быстро вращается объект? Мы можем ответить на этот вопрос, используя понятие угловой скорости. Сначала рассмотрим угловую скорость (ω)(ω) — скорость изменения угла поворота. В форме уравнения угловая скорость равна

ω=ΔθΔt,ω=ΔθΔt,

6,2

, что означает, что угловой поворот (Δθ)(Δθ) происходит за время ΔtΔt. Если объект поворачивается на больший угол поворота за заданное время, он имеет большую угловую скорость. Единицами угловой скорости являются радианы в секунду (рад/с).

Теперь рассмотрим направление угловой скорости, а значит, теперь мы должны называть ее угловой скоростью. Направление угловой скорости вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося по часовой стрелке, угловая скорость направлена ​​от вас вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося против часовой стрелки, угловая скорость указывает на вас вдоль оси вращения.

Угловая скорость (ω) является угловой версией линейной скорости v . Тангенциальная скорость – это мгновенная линейная скорость объекта, находящегося во вращательном движении . Чтобы получить точное соотношение между угловой скоростью и тангенциальной скоростью, снова рассмотрим ямку на вращающемся компакт-диске. Эта яма движется по дуге (Δs)(Δs) за короткое время (Δt)(Δt), поэтому ее тангенциальная скорость равна

v=ΔsΔt.v=ΔsΔt.

6.3

Из определения угла поворота Δθ=ΔsrΔθ=Δsr видно, что Δs=rΔθΔs=rΔθ . Подставляя это в выражение для v , получаем

v=rΔθΔt=rω.v=rΔθΔt=rω.

Уравнение v=rωv=rω говорит, что тангенциальная скорость v пропорциональна расстоянию r от центра вращения. Следовательно, тангенциальная скорость больше для точки на внешнем краю компакт-диска (с большими r ), чем для точки ближе к центру компакт-диска (с меньшими r ). Это имеет смысл, потому что точка, расположенная дальше от центра, должна пройти большую длину дуги за то же время, что и точка, расположенная ближе к центру. Обратите внимание, что обе точки по-прежнему будут иметь одинаковую угловую скорость, независимо от их расстояния от центра вращения. См. рисунок 6.4.

Рисунок 6.4 Точки 1 и 2 поворачиваются на один и тот же угол (ΔθΔθ), но точка 2 перемещается на большую длину дуги (Δs2Δs2), поскольку она находится дальше от центра вращения.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[AL] Объясните, что период времени ΔtΔt в уравнении, определяющем тангенциальную скорость ( v=ΔsΔtv=ΔsΔt ), должен быть коротким, чтобы дугу, описываемую движущимся объектом, можно было аппроксимировать прямой линией. Это позволяет нам определить направление тангенциальной скорости как касательное к окружности. Это приближение становится все более точным по мере того, как ΔtΔt становится все меньше.

Теперь рассмотрим другой пример: шина движущегося автомобиля (см. рис. 6.5). Чем быстрее вращается шина, тем быстрее движется автомобиль — большое ωω означает большое v , потому что v=rωv=rω. Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ωω, создаст большую линейную (тангенциальную) скорость, v, для автомобиля. Это связано с тем, что больший радиус означает, что более длинная дуга должна касаться дороги, поэтому автомобиль должен двигаться дальше за то же время.

Рисунок 6,5 Автомобиль, движущийся со скоростью v, вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ωω. Скорость протектора шины относительно оси составляет v , такая же, как если бы автомобиль был поднят на домкрат и колеса крутились, не касаясь дороги. Непосредственно под осью, где шина касается дороги, протектор шины движется назад относительно оси с тангенциальной скоростью v=rωv=rω, где r — радиус шины. Поскольку дорога неподвижна относительно этой точки шины, автомобиль должен двигаться вперед с линейной скоростью против . Большая угловая скорость шины означает большую линейную скорость автомобиля.

Однако бывают случаи, когда линейная скорость и тангенциальная скорость не эквивалентны, например, когда колеса автомобиля крутятся на льду. В этом случае линейная скорость будет меньше тангенциальной скорости. Из-за отсутствия трения под шинами автомобиля по льду длина дуги, по которой перемещаются протекторы шин, больше, чем линейное расстояние, по которому движется автомобиль. Это похоже на бег на беговой дорожке или вращение педалей на велотренажере; вы буквально никуда не денетесь.

Советы для успеха

Угловая скорость ω и тангенциальная скорость v являются векторами, поэтому мы должны указать величину и направление. Направление угловой скорости находится вдоль оси вращения и указывает от вас для объекта, вращающегося по часовой стрелке, и к вам для объекта, вращающегося против часовой стрелки. В математике это описывается правилом правой руки. Тангенциальная скорость обычно описывается как восходящая, нисходящая, левая, правая, северная, южная, восточная или западная, как показано на рис. 6.6.

Рисунок 6,6 Поскольку муха на краю старой виниловой пластинки движется по кругу, ее мгновенная скорость всегда направлена ​​по касательной к кругу. В этом случае направление угловой скорости находится на странице.

Смотреть физику

Связь между угловой скоростью и скоростью

В этом видео рассматриваются определение и единицы измерения угловой скорости, а также их связь с линейной скоростью. Он также показывает, как конвертировать между оборотами и радианами.

Для объекта, движущегося по круговому пути с постоянной угловой скоростью, изменится ли линейная скорость объекта, если радиус пути увеличится?

1. Да, потому что тангенциальная скорость не зависит от радиуса.

2. Да, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.

3. Нет, так как тангенциальная скорость не зависит от радиуса.

4. Нет, так как тангенциальная скорость зависит от радиуса.

Решение задач на угол поворота и угловую скорость

Снап Лаборатория

Измерение угловой скорости

В этом упражнении вы создадите и измерите равномерное круговое движение, а затем сопоставите его с круговыми движениями с разными радиусами.

• Одна струна (длина 1 м)
• Один предмет (резиновая пробка с двумя отверстиями) для привязки к концу
• Один таймер

Процедура

1. Привяжите объект к концу строки.
2. Раскачайте предмет по горизонтальному кругу над головой (раскачивание запястьем). Важно, чтобы круг был горизонтальным!
3. Поддерживайте постоянную скорость объекта при его раскачивании.
4. Измерьте таким образом угловую скорость объекта. Измерьте время в секундах, за которое объект совершает 10 оборотов. Разделите это время на 10, чтобы получить угловую скорость в оборотах в секунду, которую вы можете преобразовать в радианы в секунду.
5. Какова примерная линейная скорость объекта?
6. Поднимите руку вверх по веревке так, чтобы длина веревки составила 90 см. Повторите шаги 2–5.
7. Поднимите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 80 см. Повторите шаги 2–5.
8. Переместите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 70 см. Повторите шаги 2–5.
9. Переместите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 60 см. Повторите шаги 2–5
10. Переместите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 50 см. Повторите шаги 2–5
11. Постройте графики зависимости угловой скорости от радиуса (т.е. длины струны) и линейной скорости от радиуса. Опишите, как выглядит каждый график.

Если медленно раскачивать объект, он может вращаться со скоростью менее одного оборота в секунду. Каковы были бы обороты в секунду для объекта, который делает один оборот за пять секунд? Какова будет его угловая скорость в радианах в секунду?

1. Объект будет вращаться со скоростью \frac{1}{5}\,\text{об/с}. Угловая скорость объекта будет \frac{2\pi}{5}\,\text{rad/s}.

2. Объект будет вращаться со скоростью \frac{1}{5}\,\text{об/с}. Угловая скорость объекта будет \frac{\pi}{5}\,\text{рад/с}.

3. Объект будет вращаться со скоростью 5\,\text{об/с}. Угловая скорость объекта будет 10\pi\,\text{rad/s}.

4. Объект будет вращаться со скоростью 5\,\text{об/с}. Угловая скорость объекта будет 5\pi\,\text{rad/s}.

Теперь, когда у нас есть понимание концепций угла поворота и угловой скорости, мы применим их к реальным ситуациям башни с часами и вращающейся шины.

Рабочий пример

Угол поворота часовой башни

Часы на часовой башне имеют радиус 1,0 м. а) На какой угол поворачивается часовая стрелка часов, когда она движется с 12 часов дня до 12 часов дня. до 15:00? (b) Какова длина дуги по внешнему краю часов между часовой стрелкой в ​​эти два времени?

Стратегия

Мы можем вычислить угол поворота, умножив полный оборот (2π2π радиан) на долю 12 часов, покрываемых часовой стрелкой при переходе от 12 к 3. Получив угол поворота, мы можем найти длину дуги, переформулировав уравнение Δθ=ΔsrΔθ=Δsr, поскольку радиус задан.

Решение задачи (a)

При переходе от 12 к 3 часовая стрелка покрывает 1/4 из 12 часов, необходимых для совершения полного оборота. Следовательно, угол между часовой стрелкой в ​​положении 12 и 3 равен 14×2πrad=π214×2πrad=π2 (т. е. 90 градусов).

Решение (б)

Преобразуя уравнение

Δθ=Δsr,Δθ=Δsr,

6,4

получаем

Δs=rΔθ.Δs=rΔ.

6,5

Подстановка известных значений дает длину дуги

Δs=(1,0 м)(π2рад)=1,6 мΔs=(1,0 м)(π2рад)=1,6 м отбрасывать радианы из окончательного решения в часть (b), потому что на самом деле радианы безразмерны. Это связано с тем, что радиан определяется как отношение двух расстояний (радиуса и длины дуги). Таким образом, формула дает ответ в метрах, как и ожидалось для длины дуги.

Рабочий пример

Как быстро вращается автомобильная шина?

Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется со скоростью 15,0 м/с (около 54 км/ч). См. рисунок 6.5.

Стратегия

В этом случае скорость протектора шины относительно оси шины равна скорости автомобиля относительно дороги, поэтому мы имеем v = 15,0 м/с. Радиус шины равен r = 0,300 м. Так как мы знаем v и r , мы можем изменить уравнение v=rωv=rω, чтобы получить ω=vrω=vr и найти угловую скорость.

Решение

Чтобы найти угловую скорость, мы используем соотношение: ω=vrω=vr .

Подстановка известных величин дает

ω=15,0 м/с0,300 м=50,0 рад/с.ω=15,0 м/с0,300 м=50,0 рад/с.

6,7

Обсуждение

Когда мы отбрасываем единицы измерения в приведенном выше расчете, мы получаем 50,0/с (т. е. 50,0 в секунду, что обычно записывается как 50,0 с ^-1 ). Но угловая скорость должна иметь единицы рад/с. Поскольку радианы безразмерны, мы можем подставить их в ответ для угловой скорости, потому что мы знаем, что движение является круговым. Также обратите внимание, что если бы землеройная машина с колесами гораздо большего размера, скажем, радиусом 1,20 м, двигалась с той же скоростью 15,0 м/с, его колеса вращались бы медленнее. Они будут иметь угловую скорость

ω=15,0 м/с1,20м=12,5рад/сω=15,0м/с1,20м=12,5рад/с

6,8

Практические задачи

1.

Чему равен угол в градусах между часовой и минутной стрелками часов, показывающих 9 часов утра?

1. 0°
2. 90°
3. 180°
4. 360°

2.

Какова приблизительная длина дуги между часовой и минутной стрелками часов, показывающих 10:00, если радиус часов равен 0,2 м?

1. 0,1 м
2. 0,2 м
3. 0,3 м
4. 0,6 м

Проверьте свое понимание

3.

Что такое круговое движение?

1. Круговое движение — это движение объекта по линейной траектории.

2. Круговое движение — это движение объекта по зигзагообразной траектории.

3. Круговое движение — это движение объекта по круговой траектории.

4. Вариант D сбивает с толку как отвлекающий фактор

4.

Что подразумевается под радиусом кривизны при описании вращательного движения?

1. Радиус кривизны — это радиус кругового пути.
2. Радиус кривизны — это диаметр кругового пути.
3. Радиус кривизны – это длина окружности кругового пути.
4. Радиус кривизны – это площадь кругового пути.

5.

Что такое угловая скорость?

1. Угловая скорость – это скорость изменения диаметра кругового пути.

2. Угловая скорость – это скорость изменения угла, образуемого круговой траекторией.

3. Угловая скорость – это скорость изменения площади кругового пути.

4. Угловая скорость — это скорость изменения радиуса кругового пути.

6.

Какое уравнение определяет угловую скорость ω, если r — радиус кривизны, θ — угол, t — время?

1. \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta{t}}

2. \omega = \frac{\Delta{t}}{\Delta\theta}

3. \omega = \frac{\Delta{r}}{\Delta{t}}

4. \omega = \frac{\Delta{t}}{\Delta{r}}

7.

Найдите три примера объекта, движущегося по кругу.

1. искусственный спутник Земли, гоночный автомобиль, движущийся по круговой гоночной трассе, и волчок, вращающийся вокруг своей оси

2. искусственный спутник на орбите Земли, гоночный автомобиль, движущийся по круговой гоночной трассе, и мяч, привязанный к веревке, раскачивается по кругу вокруг головы человека

3. Земля вращается вокруг своей оси, гоночный автомобиль движется по круговой гоночной трассе, а мяч, привязанный к веревке, раскручивается по кругу вокруг головы человека

4. Земля, вращающаяся вокруг своей оси, лопасти работающего потолочного вентилятора и волчок, вращающийся вокруг своей оси

8.

Какова относительная ориентация векторов радиуса и тангенциальной скорости объекта при равномерном круговом движении?

1. Вектор тангенциальной скорости всегда параллелен радиусу окружности, по которой движется объект.

2. Вектор тангенциальной скорости всегда перпендикулярен радиусу окружности, по которой движется объект.

3. Вектор тангенциальной скорости всегда находится под острым углом к ​​радиусу окружности, по которой движется объект.

4. Вектор тангенциальной скорости всегда находится под тупым углом к ​​радиусу окружности, по которой движется объект.