Площадь по трем сторонам: Онлайн калькулятор. Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Слишком сложно?

Как найти площадь треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см² ?

Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

$h_{a}=\frac{2 \mathrm{S}_{\Delta A B C}}{a}=\frac{2 \cdot 6}{2}=6$ (см)

Ответ. $h_{a}=6$ (см)

Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника онлайн расчет

Данная страница посвящена достаточно распространенному информационному ресурсу  — описанию и расчету площади произвольного треугольника. Отличие от других ресурсов, это расчет площади онлайн, непосредственно в процессе прочтения статьи

Площадь через высоту и основание

Это самая простая для запоминания формула. Словами эта формула звучит так — площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту.

В случае прямоугольного треугольника это выражение приобретает еще более простой смысл: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов 

площадь через стороны треугольника

Площадь треугольника выраженная через стороны известна очень давно —  она фигурирует в книгах, датированных 1 веком до нашей эры. 

Эту формулу можно выразить по разному, благо формул расчета параметров треугольника достаточно.

Но если попытаться мыслить категориями времен до нашей эры, когда не было формул в современном преставлении, не было переменных и знаков корня, то единственной аксимомой, на базе которого, Герон, создал свою формулу, была теорема Пифагора. А так как в те времена, еще не знали иррациональных чисел, да к отрицательным  у ученых было достаточно скептическое видение, то для размышлений использовались целые числа. 

Самого доказательства здесь не будет, предположив только что Герон, дополнял произвольный пифагоровый треугольник до прямоугольника высчитывал его площадь, и делил на два. 

Площадь через координаты вершин

Когда известны координаты вершин треугольника, формула площади может быть выражена вот такой формулой

Определитель третьего порядка  легко раскладывается, и поэтому  расчет площади даже в ручном режиме не вызовет никаких затруднений.

Площадь через две стороны и угол между ними

Площадь через сторону и два угла

Редко встречающаяся задача,  но и для таких исходных данных  высчитали формулу. Внимательный читатаель сразу видит «ошибку». Заголовок гласит, что площадь узнается через сторону и два угла, то есть через три переменных, а в формуле присутствут все четыре.

На самом деле ошибки никакой нет, зная одну из основных аксиом треугольника, гласящая, что сумма внутренних углов  треугольника всегда(!!) равна 180 градусов

Поэтому нет ничего сложного, зная два угла треугольника, узнать третий.

Площадь через медианы треугольника

Заменив квадраты сторон на дополнительные переменные,  система превращается в систему линейных уравнений, которые легко решить.

А узнав все стороны, легко определить площадь по сторонам треугольника

Как её выводили  неизвестно, то что что она по своему элеганта, это не подвергается сомнению.

Найти площадь треугольника онлайн | Все формулы

Калькулятор позволяет онлайн найти площадь треугольника разностороннего , треугольника прямоугольного

• 1. Разносторонний треугольник:
• 1.1. по основанию и высоте: площадь треугольника равна произведению половины основания на его высоту;
• 1.2. по двум сторонам и углу между ними: площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними;
• 1.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника и каждой из его сторон;
• 1.4. по радиусу вписанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности;
• 1.5. по радиусу описанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна одной четвертой отношения произведения сторон на радиус описанной окружности.

• 2. Прямоугольный треугольник:
• 2.1. по основанию и высоте: площадь прямоугольно треугольника равна половине произведения катетов треугольника;
• 2. 2. по отрезкам на которые делит гипотенузу вписанная окружность: площадь прямоугольно треугольника равна произведению произведению отрезков на которые делит гипотенузу вписанная окружность;
• 2.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь прямоугольно треугольника равна произведению разностей полупериметра треугольника и каждой его катетов.

• 3. Равнобедренный треугольник:
• 3.1. по боковым сторонам и углу между ними: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата боковой стороны на синус угла между боковыми сторонами;
• 3.2. по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения боковой стороны и основания на синус угла между ними;
• 3.3. по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна четверти отношения квадрата основания на тангенс половинного угла между боковыми сторонами.

• 4. Равносторонний треугольник:
• 4.1. по стороне: площадь равностороннего треугольника равна произведению одной четвертой корня из трех на квадрат стороны;
• 4.2. по радиусу описанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех четвертей корня из трех на квадрат радиуса описанной окружности;
• 4.3. по радиусу вписанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех корней из трех на квадрат радиуса вписанной окружности.
• 4.4. по высоте: площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата высоты к корню из трех.

Площадь треугольника по основанию и высоте

нахождение площади треугольника по основанию и высоте

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

нахождение площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника по формуле Герона

нахождение площади треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

полупериметр нахождение полупериметра треугольника
нахождение площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

нахождение площади треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

нахождение площади прямоугольного треугольника по двум катетам

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам на которые делит гипотенузу вписанная окружность

нахождение площади прямоугольного треугольника по отрезкам. на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле Герона

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

нахождение площади равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

нахождение площади равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

нахождение площади равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

Площадь равностороннего треугольника по стороне

нахождение площади равностороннего треугольника по стороне

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

нахождение площади равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

нахождение площади равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по высоте

нахождение площади равностороннего треугольника по высоте

Помощь на развитие проекта premierdevelopment. ru

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Для справки:

треугольник

— геометрическая фигура, образованная соединением отрезков трех точек, не лежащих на одной прямой. При этом точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

площадь геометрической фигуры

— численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

II. Примечание:

1. Блок исходных данных выделен желтым цветом, блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом, блок решения выделен зеленым цветом.

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

$S=\frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=\frac{1}{4}\sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника. 2\sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

$S=\frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

$S=\frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой — отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

$\frac{1}{2}|x_1 y_2 — x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам

$S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma — m_a)(\sigma — m_b)(\sigma — m_c)}$,
где $\sigma$ — полусумма медиан. {2} \sin \alpha \sin \beta\sin \gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Python/06_area_of_a_triangle.py at master · Testudinate/Python · GitHub

	В то далёкое время, когда Паша ходил в школу, ему очень не нравилась формула
	Герона для вычисления площади треугольника, так как казалась слишком сложной.
	В один прекрасный момент Павел решил избавить всех школьников от страданий и
	написать и распространить по школам программу, вычисляющую площадь треугольника по трём сторонам.
	Одна проблема: так как эта формула не нравилась Павлу, он её не запомнил.
	Помогите ему завершить доброе дело и напишите программу, вычисляющую площадь
	треугольника по переданным длинам трёх его сторон по формуле Герона.
	# put your python code here
	import math
	a = int (input())
	b = int (input())
	c = int (input())
	p = (a+b+c)/2
	S = math. sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c))
	print(S)

Площадь треугольника

На данной странице вы сможете не только ознакомиться со всеми формулами нахождения площади треугольника, но и воспользоваться достаточно удобными калькуляторами и рассмотреть примеры решения задач. Это очень рационально и полезно для того, чтобы вспомнить уже давно забывшиеся формулы и сверить свой ответ с ответом необходимого калькулятора.

Площадь треугольника по основанию и высоте

Формула площади треугольника по основанию и высоте выглядит, как

$S = \frac{1}{2}\cdot a \cdot h$ , где

$S$ — площадь,

$a$ — основание,

$h$ — высота.

Рассмотрим наглядно на примере, в котором используется данная формула, как просто и быстро самостоятельно или с помощью калькулятора вычислить площадь в одно действие по данным элементам.

Пример 1

Дано: основание — $6$, высота — $10$.

Найти: площадь треугольника.

Решение:

$S = \frac12 \cdot 6 \cdot 10$

$S = 30$.

Ответ:

$S = 30$.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними выглядит следующим образом:

$S = \frac12 \cdot a \cdot b \cdot \sin (α)$, где

$S$ — площадь треугольника,

$a$ — сторона номер 1,

$b$ — сторона номер 2,

$α$ — угол между сторонами 1 и 2.

По радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам вычисляется по следующей формуле:

$S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}$, где

$S$ — площадь треугольника,

$a, b, c$ — стороны треугольника,

$R$ — радиус описанной около данного треугольника окружности.

Пример 2

Дано: сторона $a = 5$ см, сторона $b = 6$ см, сторона $c = 10$ см, радиус $R = 6$ см. 2$.

По радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам выглядит, как:

$S = r \cdot \frac{a + b + c}{2}$, где

$S$ — площадь треугольника,

$a, b, c$ — стороны треугольника,

$r$ — радиус вписанной в данный треугольник окружности.

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними вычисляется следующим образом:

$S = \frac {1}{2} \cdot b^2 \cdot \sin (y)$

или

$S = \frac{a \cdot b \cdot \sin (γ)}{2}$, где

$S$ — площадь треугольника,

$a, b$ — равные стороны треугольника,

$γ°$ — угол между сторонами a и b. 2$, где

$S$ — площадь треугольника,

$R$ — радиус описанной около данного треугольника окружности.

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам выглядит как:

$S = \frac12 \cdot a \cdot b$, где

$S$ — площадь треугольника,

$a$ — первый катет данного треугольника,

$b$ — второй катет данного треугольника.

Пример 3

Дано: катет $a = 5$ см, катет $b = 6$ см. 2$.

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам

Формула вычисления площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность выглядит следующим образом:

$S = d \cdot e$, где

$S$ — площадь треугольника,

$d$ — первый отрезок на гипотенузе, отделенный вписанной в данный треугольник окружностью,

$e$ — второй аналогичный отрезок.

Для того, чтобы сверить свой ответ и решение с данным калькулятором и найти какие-либо свои ошибки или недочеты, будет полезно рассмотреть пример решения данной задачи на нахождение площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность.

Пример 4

Дано: отрезок $z = 5$ см, отрезок $q = 8$ см. 2$.

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по формуле Герона вычисляется следующим образом:

$S = \sqrt{p \cdot (p — a) \cdot (p — b) \cdot (p — c)} $, где

$S$ — площадь треугольника,

$a, b, c$ — стороны треугольника,

$p$ — полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле:

$p = \frac{a + b + c}{2}$.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Рассчитать площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона можно следующим образом:

$S = (p — a) \cdot (p — b)$, где

$S$ — площадь треугольника,

$a$ — первый катет,

$b$ — второй катет,

$p$ — полупериметр данного треугольника, вычисляемый по формуле:

$p = \frac{a + b + c}{2}$.

Как найти площадь треугольника | Блог Comfy

Знакомство с геометрией начинается в 7 классе. Заложенные на этом этапе знания, пригодятся и во взрослой жизни, если человек в дальнейшем захочет заняться изучением точных наук. Изучая свойства фигур, придется столкнуться с треугольником и научиться вычислять его площадь.

Перед тем как найти площадь треугольника, необходимо ближе познакомиться с его особенностями.

Подписывайтесь на наш Telegram — канал

1. Что такое «треугольник»
2. Как рассчитать площадь треугольника
3. Как рассчитать площадь равнобедренного треугольника
4. Как найти площадь равностороннего треугольника
5. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника
6. Как найти площадь треугольника по трем сторонам
7. Как найти площадь треугольника через углы
8. Как привить школьнику любовь к геометрии

Что такое «треугольник»

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Отрезки именуются – сторонами, а  точки – вершиной. Треугольники отличаются по величине угла:

1. Остроугольные.
2. Прямоугольные.
3. Тупоугольные.

Различаются треугольники и по длине сторон:

1. Равносторонние – три равных стороны.
2. Равнобедренные – две равных стороны.
3. Разносторонние ‒ три стороны с разной длиной.

Площадь каждой фигуры рассчитывается разными способами: по двум, трем сторонам, по формуле Герона, через основание и высоту. Разобравшись один раз, в дальнейшем это не будет вызывать трудностей, ведь геометрия будет сопровождать школьника до выпускного, а потом продолжится в университете.

Сегодня существуют онлайн-калькуляторы, позволяющие производить расчеты, но прежде чем воспользоваться таким помощником, необходимо разобраться в обозначениях и формулах. Без базовых знаний не получится произвести правильные расчеты.

Как рассчитать площадь треугольника

Один из самых известных и популярных методов расчёта ‒ это по основанию и высоте.   Для этого необходимо основание и высоту умножить друг на друга, а потом разделить пополам.

Формула: S = a*h

Где «а» – это основание треугольника, «h» ‒ высота треугольника. Воспользуемся формулой на примере. Нам дана фигура с основанием 6 см и высотой 4 см.

Первым делом умножаем два известных значения между собой и получаем площадь искомой фигуры: S =  6*4 = 12 см.

Как рассчитать площадь равнобедренного треугольника

Чтобы вычислить площадь равнобедренного треугольника придется воспользоваться классической формулой, которая была представлена выше: S =  ah. Чтобы определить высоту понадобится обратиться к теореме Пифагора или рассчитать по формуле Герона, о которой мы расскажем дальше.

Формула для вычисления площади выглядит следующим образом.

Применяя формулу для вычисления площади через стороны и основание, понадобится обратиться к теореме Пифагора.

Возвращаемся к классической формуле  и подставляем

Как найти площадь равностороннего треугольника

Такую фигуру также называют правильной. Для расчетов необходимо воспользоваться классической формулой и подставить вычисление высоты равностороннего треугольника.

Например, придерживаясь представленной формулы, вычислим сторону (а) равную 5. В результате получим следующие значения:

1. Сторона a = 5
2. Площадь S = 10.8253

Как вычислить площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике одна из вершин всегда остается равной 90°. Чтобы произвести расчёты понадобится классическая формула.

Пример:

Необходимо вычислить площадь прямоугольного треугольника с двумя катетами: a = 9 см, b = 5 см. Производим расчет: S =  (9*5) / 2 = 22,5 см.

Также для решения можно применить теорему Пифагора она действует в том случае, если нам известен только один катет.

Как найти площадь треугольника по трем сторонам

Представлено множество вариантов для расчёта длины сторон радиуса и площади треугольника. Одна из удобных формул для расчёта площади по трём сторонам называется формулой Герона и используется в том случае, если известна длина всех трех сторон.

Полупериметром называют сумму длин всех сторон разделенную на 2.

Рассмотрим формулу на примере. Нам необходимо найти полупериметр треугольника, где даны следующие стороны  a = 5, b = 6, c = 7. Производим расчет:

Вычисляя по формуле Герона, вначале мы перемножили полученные результаты, затем из полученного числа извлекли квадратный корень. Конечное значение и является площадью искомого треугольника.

Для полного понимания необходимо постоянно упражняться и заниматься. С каждым разом усложняйте задачу и выбирайте примеры  с другими значениями.  Систематическое повторение позволит назубок выучить формулу Герона и научиться применять её для решения простых и сложных задач.

Геометрия может пригодиться не только в школе, но и во взрослой жизни, например, тем, кто занимается обустройством интерьера, ремонтами и планирует изучать архитектуру.

Как найти площадь треугольника через углы

Для оперирования этой формулой необходимо знать сумму двух сторон и угол, который проходит между ними. Зная эти данные, удастся вычислить площадь треугольника.

Формула:

S =  a * b * sin (y)

S =  a * b * sin (ϐ)

S =  a * b * sin (α)

Где a, b – стороны треугольника

α – угол между сторонами.

Рассмотрим на примере

Даны стороны a = 4, b = 5, и угол γ = 60°. Чтобы узнать синус угла 60° необходимо обратиться к таблице синусов. Синус 60° = 0,8

S =  4 * 5 * 60° = 8 кв.см

Встречаются и другие ситуации, когда в условии обозначена сторона и нужно узнать угол. Для этого используют классические формулы, так как сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов.

По мере получения знаний, уровень задач будет усложняться, а с приходом тригонометрии придется упражняться ещё больше, чтобы понимать, как производить вычисления. Поэтому, чтобы и дальше не испытывать сложности с геометрией, необходимо не запускать предмет и знать основы, по ходу учебы всё будет базироваться именно на них.

Как привить школьнику любовь к геометрии

Не разобравшись в одной теме, нельзя перескакивать на другую. Через некоторое время обнаружится, что недостаток знаний мешает дальнейшему постижению точных наук.  Желательно вернуться именно к тому моменту, когда материал оказался непонятным и уделить ему достаточное внимание: выучить теоремы и потренироваться на примерах.

Кроме запоминания аксиом, теорем и формул, необходимо понимать, как фигуры образуются на плоскости. С усложнением программы понадобятся знания о двухмерных фигурах. Зная об этом, станет понятно, что любую сложную фигуру можно разделить на простые фигуры. Это поможет в решении даже самых сложных задач.

В первую очередь, делайте упор на изучение, распознавание фигур и их геометрические свойства. Без простых знаний, будет сложно продвигаться дальше. В случае необходимости обратитесь к репетитору или найдите в интернете онлайн-курс.

Через некоторое время вы без проблем будете знать, как рассчитать площадь треугольника.

Можете ли вы представить себе трехсторонний квадрат?

Вы можете представить себе трехсторонний квадрат? Попытайся.

В одном смысле «вообразить» можно, а в другом — нет. Начнем с «не могу».

Иногда, когда люди используют термин «воображение», они имеют в виду ментальные образы. Ментальные образы — это когда вы генерируете чувственные переживания из собственного разума, а не из окружающей среды, через свои органы чувств. Это происходит, когда вы мечтаете, и когда вы слышите песню в своей голове.Если вы попытаетесь изобразить трехсторонним квадратом, у вас не получится. Как только у него будет больше или меньше четырех сторон, он перестает быть квадратом.

Однако не все воображение — это ментальные образы. Когда вы занимаетесь гипотетическими ситуациями, вы можете представить себе утверждений. Например, если вы воображаете, что ревновали, это даже не должно сопровождаться какими-либо мысленными образами. Это просто факт, что вы развлекаете. В этом смысле слова вы можете представить себе трехсторонний квадрат.Вы просто не можете себе это представить.

Приведет ли этот воображаемый факт к противоречиям? Возможно. Это то, что мы имеем в виду, когда говорим что-то вроде «Я не могу представить, что он такой на свой день рождения». Мы имеем в виду, что с учетом всего остального, что мы знаем о мире, мы думаем, что это очень маловероятно. Но если эти выводы не будут сделаны, то противоречия могут не быть обнаружены. И в любом случае факт можно представить. Мы тоже можем представить себе противоречия.

Это проблема неевклидовой геометрии.Куб — это трехмерный аналог квадрата. Мы можем рисовать кубики. Менее известный тессеракт — это четырехмерный аналог куба. Вы можете себе это представить? Нет, хотя изображение выше является попыткой. Мы не можем изобразить более трех пространственных измерений, не сведя их к трем.

Но можем ли мы в каком-то смысле представить себе четыре пространственных измерения? Конечно. Этого требуют огромные области математики. Когда я работал в Лос-Аламосских национальных лабораториях, нам приходилось выполнять векторные вычисления в 17 576 измерениях.Не будьте слишком впечатлены; математика на самом деле довольно проста. Но вы сведете себя с ума, пытаясь вообразить это.

Одно из представлений физиков о форме Вселенной — трехмерная поверхность сферы. Что это значит?

Представьте воздушный шарик, покрытый точками, сделанными маркером. Поверхность воздушного шара — это космос, а точки — галактики. Из-за большого взрыва поверхность воздушного шара набирает площадь. Он становится больше. Понятно?

Поверхность воздушного шара двумерна.Это плоский лист, который бывает изогнутым. Сама резина воздушного шара, конечно, объемна, но мы не говорим об этом — мы говорим только о поверхности.

А теперь самое сложное. В случае Вселенной поверхность трехмерна. Возможно, вы слышали, что если бы вы отправились достаточно далеко в одном направлении во Вселенной, вы бы снова оказались в том же месте. Это верно. Это как быть муравьем на поверхности воздушного шара. Независимо от того, где ходит муравей, он не может покинуть поверхность воздушного шара и в конце концов вернется туда, где был.Куда бы ни посмотрел муравей, везде есть точки. Точно так же мы видим звезды вокруг себя.

Люди ошибочно считают, что Большой взрыв похож на взрывающийся фейерверк — скопление звезд, движущихся в большом пространстве. Но это не так. Поверхность расширяющегося шара — это все, что есть на нем. «Внутри» и «снаружи» воздушного шара не существует. Все пространство находится на поверхности воздушного шара. И он расширяется, что в трех измерениях означает, что расстояние между всеми галактиками увеличивается.Вот почему все звезды кажутся (в наших телескопах) удаляющимися от нас. То же самое происходит с точкой на расширяющемся воздушном шаре. На самом деле, лучше думать не о звездах как о движущихся, а как о расширяющемся пространстве между ними.

А «до» большого взрыва вообще не было места. Давным-давно было время, когда вся Вселенная была размером в один квадратный фут (так и оставалось недолго). За пределами этого квадратного фута ничего не было. Ни космоса, ни звезд, ничего.

Вы можете это представить? Нет, не можешь.

Но вы можете себе это представить.

На фото: тессеракт. Это произведение было передано в общественное достояние его автором, JasonHise, из проекта английской Википедии. Это применимо во всем мире.

Иллюстративная математика

Задача

Сначала задайте вопрос:

Вот четыре треугольника.Что общего у всех этих треугольников? Что отличает их от фигур, не являющихся треугольниками? Что верно для некоторых, но не для всех этих треугольников?

Если учащиеся придумают утверждение, которое верно для всех треугольников, которые они видят, но не для всех треугольников в целом, учитель должен спросить учащихся, могут ли они представить треугольник без этого атрибута. Например, если ученик говорит: «Все треугольники белые внутри», учитель может спросить: «Может ли треугольник иметь другой цвет внутри?» Когда класс приходит с атрибутом, который действительно является общим для всех треугольников, тогда класс может завершить фрейм предложения: Все треугольники ___________, но только некоторые треугольники _________________. Когда ученики написали (или составили) свои предложения на основе фреймов предложений, класс может вместе написать определение треугольника:

Треугольник — это замкнутая форма с тремя прямыми сторонами, которые пересекаются в трех углах.

Учитель повторяет процесс для прямоугольников, а затем для квадратов. Каждый раз класс должен заполнить соответствующий фрейм предложения, как только они остановятся на универсальном атрибуте. Затем учитель может помочь им составить определение формы.

Прямоугольник — это замкнутая форма с четырьмя прямыми сторонами и четырьмя квадратными углами.

Квадрат — это замкнутая форма с четырьмя прямыми сторонами и четырьмя квадратными углами. Четыре стороны одинаковой длины.

После того, как класс выработает рабочие определения этих фигур на соответствующем их классе языке, учащиеся могут определять треугольники, прямоугольники и квадраты ниже. * Раскрасьте все треугольники в синий цвет. * Раскрасьте все квадраты в красный цвет. * Раскрасьте все прямоугольники в зеленый цвет.

IM Комментарий

Цель этого задания — обсудить и понять, что представляют собой определяющие атрибуты для треугольников, квадратов и прямоугольников. Учащиеся начинают с поиска атрибутов, общих для всех экземпляров определенной формы. Некоторые, но не все эти атрибуты будут определяющими. Например, у всех прямоугольников противоположные стороны параллельны, но это не определяющий атрибут — это то, что вы можете показать, начиная только с определяющих атрибутов, что прямоугольник является четырехугольником с четырьмя прямыми углами.Таким образом, в конце учитель должен будет указать ученикам, какие из этих атрибутов являются определяющими, помогая классу написать определение для каждой формы. Вот несколько предложений по изменению или расширению этой задачи в зависимости от готовности / потребностей учащихся:

• Учитель может пожелать включить «есть» в каждое предложение, чтобы учащимся нужно было заполнить только отдельные слова: Все треугольники _____________, но только некоторые треугольники _______________. , хотя это заставляет студентов говорить (например) «трехсторонний», а не «иметь три стороны».

• В конце урока учитель может попросить учеников составить список вещей, которые никогда не определяют атрибуты форм, таких как цвет, размер и ориентация, и вещей, которые часто не соответствуют атрибутам форм, например, количеству сторон, количество углов, или если стороны прямые или изогнутые. Это поможет учащимся понять, что определяет формы в целом, а не просто определение одной конкретной формы.

• Студент может заполнить «только некоторые» чем-нибудь математическим.Хотя это и не является частью стандарта, он может помочь различать не определяющие атрибуты, которые не являются математическими (например, «нарисовано карандашом»), и те, которые имеют математическое содержание, не относящееся к этой конкретной форме (например, «имеет равные стороны »).

К приложению прилагается версия в формате PDF для печати, или учитель может нарисовать фигуры на доске. Существует также распечатанный PDF-файл для раскрашивания.

Стандарты математической практики сосредотачиваются на природе учебного опыта, уделяя внимание процессам мышления и привычкам ума, которые учащиеся должны развивать, чтобы достичь глубокого и гибкого понимания математики.Определенные задания поддаются демонстрации учащимися конкретных практик. Практики, которые можно наблюдать во время исследования задачи, зависят от того, как обучение разворачивается в классе. Хотя возможно, что задачи могут быть связаны с несколькими практиками, мы подробно обсудим только одну связь с практикой. Возможные связи вторичной практики могут быть обсуждены, но не с такой степенью детализации.

Эта конкретная задача очень намеренно связана с первой частью Стандарта математической практики 3, построение жизнеспособных аргументов.Посредством постановки вопросов учащимся предлагается различать и описывать определяющие характеристики треугольников, исследуя фигуры, которые являются треугольниками, и фигуры, которые не являются треугольниками. Этот же процесс повторяется для квадратов и прямоугольников. Таким образом, студенты постоянно анализируют и описывают. Эта задача закладывает основу искусства объяснения, ведущего к «критике рассуждений других». Например, первоклассник может предложить объяснение: «Похоже, у всех треугольников есть 3 прямые стороны, которые все связаны.• С помощью тщательно составленных вопросов учащиеся узнают, какие характеристики действительно имеют значение, и дополнят рамки предложений, предоставленные всем классом. Эти фреймы предложений затем можно использовать для написания определений для каждой из форм. Эти типы действий дополнительно поддерживают MP.6, Attend to precision, которая в данном случае относится к точности языка.

Â

Решение

Примечание: неформальный язык приемлем, особенно в не определяющих атрибутах.Студентам не нужно определять все определяющие атрибуты, перечисленные ниже, но все ключевые из них включены в это решение для полноты картины.

У всех треугольников по три прямые стороны, но только некоторые из них маленькие.

У всех треугольников по три угла, но только некоторые из них зеленые.

Все треугольники замкнуты, но только некоторые треугольники перевернуты.

У всех прямоугольников четыре прямые стороны, но только некоторые прямоугольники красные.

Все прямоугольники имеют четыре квадратных угла, но только некоторые прямоугольники высокие и узкие.

Все прямоугольники закрыты, но только некоторые прямоугольники короткие.

Все квадраты имеют четыре равные стороны, но только некоторые из них наклонены.

Все четыре квадрата имеют четыре квадратных угла, но только некоторые квадраты синие.

Все квадраты закрыты, но только некоторые квадраты повернуты.

Как найти длину стороны квадрата

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Что такое квадрат? (Определение, свойства и видео) // Tutors.com

Содержание

1. Квадратное разрешение
2. Что такое квадрат?
3. Как построить квадрат
4. Как нарисовать квадрат
5. квадратов в реальной жизни
6. Свойства квадрата

Взгляните на площадь. Сначала это может показаться немного скучным, но как только вы узнаете о квадрате больше, вы увидите, что он интригующий и очень полезный. Вокруг вас появляются квадраты. Они отлично подходят для строительства, украшения и создания трехмерных фигур. И, хотите верьте, хотите нет, но у квадратов есть много интересных отличительных свойств.

Квадратное разрешение

Квадрат — это четырехсторонняя фигура, все стороны которой равны по длине, а все углы равны прямым углам, равным 90 градусам.Чтобы быть квадратом, форма должна быть такой:

• Плоская фигура
• Закрытая форма
• Правильный многоугольник
• Четырехугольник

Квадрат должен иметь эти две вещи:

1. Четыре равные стороны (равной длины)
2. Четыре одинаковых (одинаковых) внутренних угла

Что такое квадрат?

Семейство четырехугольников включает в себя множество форм, и квадрат может быть одним из них. Квадрат — это тип параллелограмма, прямоугольника и ромба. Это параллелограмм, потому что у него две пары параллельных конгруэнтных сторон. Это прямоугольник, потому что у него две пары параллельных конгруэнтных сторон с четырьмя конгруэнтными внутренними углами. Это ромб, потому что у него четыре совпадающие стороны.

Все квадраты являются параллелограммами, прямоугольниками и ромбами, но не все параллелограммы, прямоугольники и ромбы являются квадратами.

Квадрат является правильным многоугольником, потому что у него стороны равной длины (равносторонние) и углы равной меры (, равносторонние, ).Сравните его с правильным многоугольником только с тремя сторонами, равносторонним треугольником или правильным восьмиугольником, как вы можете видеть на знаках остановки на перекрестках улиц.

Как построить квадрат

Вы можете построить квадрат, используя четыре прямых (линейных) объекта одинаковой длины. Положите четыре прямых объекта (ручки, линейки, шнурки) так, чтобы все восемь конечных точек касались ровно одной другой конечной точки. Работайте с объектами, пока все четыре внутренних угла не станут одинаковыми.

Вы построили квадрат, потому что четыре стороны равны (равносторонние) и четыре внутренних угла равны (равносторонние).Каждый внутренний угол составляет 90 °.

Как нарисовать квадрат

Вы можете нарисовать квадрат с помощью линейки, карандаша и транспортира. Нарисуйте горизонтальный отрезок на листе бумаги рядом с центром бумаги. Обозначьте его YN, чтобы конечная точка Y находилась слева от вас, а конечная точка N — справа.

С помощью транспортира нарисуйте отрезок линии, поднимающийся вверх от конечной точки Y, перпендикулярно отрезку линии YN и такой же длины, как YN. Обозначьте его конечную точку Z.

Повторите этот процесс, чтобы сегмент линии поднимался от конечной точки N.Обозначьте его конечную точку A.

Если вы все нарисовали правильно, соединение конечной точки Z с конечной точкой A даст вам квадрат ZANY.

Если соединить конечные точки Z и N, получится диагональ квадрата. Соедините A и Y, и у вас будет другая диагональ.

Посмотрите внимательно на эти диагонали. Они одинаковой длины и разрезают друг друга пополам ( делят пополам ).

квадратов в реальной жизни

Квадрат — это форма, которую легко сделать, вырезать или построить из повседневных материалов.Он также может накрыть самолет, когда вы несколько раз кладете квадраты друг на друга.

Когда вы закрываете поверхность так, чтобы ничего не выглядывало, вы создаете мозаику. Лишь несколько правильных многоугольников могут создавать мозаику на поверхности, и квадрат является одним из них. Это делает квадрат очень удобным для строительства, украшения и изготовления предметов искусства. Вы можете найти квадраты везде.

Многие плитки для пола и потолочные панели имеют квадратную форму. Керамическая плитка для ванной часто бывает квадратов. Художники и архитекторы много используют квадраты.Основание квадратной пирамиды, трехмерного тела, представляет собой квадрат. Грани кубиков и игральных костей (также трехмерных или трехмерных тел) представляют собой квадраты.

Вы можете найти квадраты на картинках, в рамках для картин, коробках с кроссвордами, на сторонах строительных блоков маленьких детей, на плитках для скрэббла и на доске для скрэббла, и даже на клавишах на клавиатуре многих компьютеров.

В США большая часть бумаги для письма и печати прямоугольная, а не квадратная, но в Японии квадратная бумага используется для складывания в искусстве оригами.Вы можете сделать из оригами замечательных животных и другие фигурки, начав с квадрата из бумаги.

Свойства квадрата

Квадраты имеют три идентифицирующих свойства, связанных с их диагоналями, сторонами и внутренними углами.

Диагонали

Все квадраты имеют ровно две совпадающие диагонали, которые пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Диагонали квадрата также делят пополам их внутренние углы.

Никакая другая форма не имеет этого идентифицирующего свойства!

Стороны

Все четыре стороны квадрата равны. Это означает, что они равны друг другу по длине. Чтобы быть конгруэнтным, противоположные стороны квадрата должны быть параллельны. Ромб разделяет это идентифицирующее свойство, поэтому квадраты являются ромбами.

Внутренний угол

Все четыре внутренних угла квадрата совпадают. Поскольку внутренние углы любого четырехугольника должны составлять в сумме 360 °, небольшое быстрое деление показывает, что каждый угол равен 90 °

360 ° 4 = 90 °

Таким образом, все квадраты имеют четыре прямых угла. Прямоугольник разделяет это свойство идентификации, поэтому квадраты являются прямоугольниками.

Как найти периметр квадрата

Поскольку квадрат имеет четыре равные стороны (равносторонние или равные по длине), найти расстояние вокруг формы очень легко. Обозначьте длину любой стороны a, а затем умножьте на 4:

Формула периметра квадрата

Итак, у нашего квадрата ZANY одна из сторон составляет 37 ярдов.

периметр = 4 × 37

периметр = 148 ярдов

Пример # 2

Попробуйте сами. Допустим, у квадрата ZANY одна сторона 1000 метров. Какой периметр?

периметр = 4 × 1000 метров

периметр = 4000 метров

Как найти площадь квадрата

Площадь всегда выражается в квадратных единицах линейного измерения. Обычно мы говорим, что площадь равна длине, умноженной на ширину, но в квадрате длина равна ширине. Это облегчит вашу работу.

Чтобы найти площадь квадрата, умножьте длину любой стороны на саму себя (возведите ее во вторую степень):

Формула площади квадрата

Найдем площадь квадрата со стороной 37 ярдов.

площадь = 372

площадь = 37 × 37

площадь = 1369 ярдов2

Пример # 2

Попробуйте сами. Возьмем тот же квадрат ZANY со стороной 1000 метров. Какова его площадь в квадратных метрах?

площадь = 10002

площадь = 1000000 м2

Краткое содержание урока

Посмотрев видео и прочитав эти инструкции, вы узнали все о геометрической фигуре, квадрате. Вы знаете, как построить квадрат.Вы можете идентифицировать квадраты вокруг себя, вы можете сказать, как квадрат вписывается в семейство четырехугольников, и вы можете определить три идентифицирующих свойства квадрата.

Вы можете рассчитать периметр и площадь квадрата по формулам P = a × 4, где a — длина одной стороны, а A = a2 в квадратных единицах.

Следующий урок:

Что такое трапеция?

свойств полигонов | SkillsYouNeed

На этой странице рассматриваются свойства двумерных или «плоских» многоугольников.Многоугольник — это любая форма, состоящая из прямых линий, которую можно нарисовать на плоской поверхности, например на листе бумаги. Такие формы включают квадраты, прямоугольники, треугольники и пятиугольники, но не круги или любую другую форму, которая включает кривую.

Понимание форм важно в математике. Вам, безусловно, потребуется изучать формы в школе, но понимание свойств форм имеет много практических применений в профессиональных и реальных ситуациях.

Многие профессионалы должны понимать свойства форм, включая инженеров, архитекторов, художников, агентов по недвижимости, фермеров и строителей.

Возможно, вам понадобится разбираться в формах, когда вы делаете ремонт дома и делаете самодельные работы, при работе в саду и даже при планировании вечеринки.

При работе с полигонами важны следующие основные свойства:

• Количество сторон фигуры.
• Угол расположен под углом между сторонами фигуры.
• Длина сторон формы.

Количество сторон

Многоугольники обычно определяются количеством сторон, которые у них есть.

Трехсторонние многоугольники: треугольники

Трехсторонний многоугольник — это треугольник. Существует несколько различных типов треугольников (см. Диаграмму), в том числе:

• Равносторонний — все стороны равны по длине, а все внутренние углы равны 60 °.
• Равнобедренный — имеет две равные стороны, у третьей разной длины. Два внутренних угла равны.
• Scalene — все три стороны и все три внутренних угла разные.

Треугольники также можно описать с точки зрения их внутренних углов (подробнее об именах углов см. Нашу страницу Углы ). Сумма внутренних углов треугольника всегда составляет 180 °.

Треугольник, имеющий только острых углов и внутренних углов, называется острым (или остроугольным) треугольником. Один с одним тупым углом и двумя острыми углами называется тупым (тупоугольным), а другой с прямым углом известен как прямоугольный.

Каждый из них будет , а также будет либо равносторонним, равнобедренным , либо разносторонним .

Четырехсторонние многоугольники — четырехугольники

Четырехсторонние многоугольники обычно называют четырехугольниками, четырехугольниками или иногда четырехугольниками. В геометрии обычно используется термин четырехугольник . Термин четырехугольник часто используется для описания прямоугольного замкнутого открытого пространства, например «новички, собранные в четырехугольнике колледжа». Термин четырехугольник соответствует многоугольнику, пятиугольнику и т. Д. Вы можете встретить его время от времени, но на практике он обычно не используется.

Семейство четырехугольников включает квадрат, прямоугольник, ромб и другие параллелограммы, трапецию / трапецию и воздушный змей.

Внутренние углы всех четырехугольников в сумме составляют 360 °.